The symmetric derivative and its application to the theory of trigonometric series. (Q572583)

Man setze \[ \begin{gathered} P(r,x)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1n (a_n \sin nx - b_n \cos nx) r^n, \\ \overline P(x) = \limsup_{r\to 1-0} P(r,x), \quad \underline P(x) = \liminf_{r\to 1-0}P(r,x), \\ R(r,x,h)=\frac{P(r,x+h)-P(r,x-h)}{2h}= \sum_{n=1}^\infty (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\left(\frac{\sin nh}{nh}\right)r^n, \\ \overline R(x)=\limsup_{h\to 0}\lim_{r\to 1-0}R(r,x,h), \quad \underline R (x)=\liminf_{h\to 0}\lim_{r\to 1-0}R(r,x,h). \end{gathered} \] Verf. beweist den folgenden Satz: Es seien \(\overline P(x)\), \(\underline P(x)\), \(\overline R(x)\), \(\underline R(x)\) für alle Werte von \(x\) endlich, und es sei \[ \overline R(x)\geqq \varphi(x)\geqq \underline R(x), \tag{A} \] wobei \(\varphi(x)\) im \textit{Denjoy-Perron}schen Sinne integrierbar sei. Ferner setze man voraus, daß entweder \[ a_n=o(n^2), \quad b_n=o(n^2) \tag{1} \] oder \[ \sum \frac 1{n^3}(a_n \sin nx - b_n \cos nx) \tag{2} \] die \textit{Fourier}sche Reihe einer stetigen Funktion sei. Dann ist \[ \sum_{n=1}^\infty(a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] die \textit{Fourier-Denjoy}sche Reihe von \(\varphi(x)\). Der Beweis beruht auf Eigenschaften der symmetrischen Derivierten \[ \limsup_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}, \quad \liminf_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}, \] die in der vorliegenden Arbeit hergeleitet werden, und auf Sätzen über \textit{Fourier}sche Reihen, die Verf. (1930; JFM 56.0249.*) und \textit{Zygmund} (M. Z. 25 (1926), 274-290; F. d. M. 52, 272 (JFM 52.0272.*)) bewiesen haben. Ferner beweist Verf: Wird die Voraussetzung (A) durch die Voraussetzung \[ \overline R(x) \geqq \varphi(x) \] ersetzt, wobei \(\varphi(x)\) endlich und \textit{Denjoy-Perron}-integrierbar ist und der Bedingung \[ \int\limits_0^{2\pi}\varphi(t)\,dt=\alpha\geqq 0 \tag{B} \] genügt, dann ist \(\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)\) die \textit{Fourier-Denjoy}sche Reihe von \(\varphi(x)-\dfrac{\alpha}{2\pi}\).