The absolute summability (A) of Fourier series. (Q572592)

Eine Reihe heißt \(A\)-\textit{summierbar} zum Werte \(l\), falls \(G(x)=\sum a_nx_n\) für \(|x|<1\) konvergiert und für \(x\to 1-0\) den Grenzwert \(l\) hat; sie heißt \textit{absolut} \(A\)-\textit{summierbar}, falls \(G(x)\) in \(0\leqq x < 1\) von beschränkter Schwankung ist. Ist \(f(\vartheta)\) mit \(2\pi\) periodisch und \(L\)-integrierbar, so ist, wie \textit{J. M. Whittaker} (1930; JFM 56.0251.*) gezeigt hat, die \textit{Fourier}reihe von \(f(\vartheta)\) absolut \(A\)-summierbar zum Werte \(l\), falls \[ \int\limits_0^\delta|\varphi(t)|t^{-1}\,du \quad \text{existiert}. \tag \(\alpha\) \] Dabei ist, wie üblich, \(f(\vartheta+2t)+f(\vartheta-2t)-2l= 2\varphi(t)\) gesetzt. Verf. zeigt jetzt, daß die folgenden Bedingungen hinreichend sind: \[ \begin{aligned} &\varphi(t)\quad \text{ist absolut stetig in}\quad (0,\delta); \tag{\(\beta\)} \\ &\int\limits_0^\delta|\varPhi(t)|t^{-2}\,dt\quad \text{mit}\quad \varPhi(t)=\int\limits_0^t\varphi(u)\,du\quad \text{existiert}. \tag \(\gamma\) \end{aligned} \] Weiter wird gezeigt: \((\beta)\) ist von \((\alpha)\) und \((\gamma)\) unabhängig; \((\gamma)\) schließt \((\alpha)\) ein, aber \((\alpha)\) nicht \((\gamma)\). Und schließlich: \((\gamma)\) ist \textit{nicht} hinreichend für die gewöhnliche Konvergenz.