Sur la sommabilité de la série conjuguée d'une série de Fourier. (Q572596)

Gehört zu der (mit \(2\pi\) periodischen und \(L\)-integrierbaren) Funktion \(f(x)\) die \textit{Fourier}reihe \[ \tfrac 12 a_0 + \sum (a_n \cos nx + b_n \sin nx), \tag{F} \] so gehört zu der konjugierten Reihe \[ \sum (b_n\cos nx-a_n\sin nx) \tag{K} \] die Funktion \[ g(x)=\frac 1{2\pi}\int\limits_0^x[f(x+t)-f(x-t)]\operatorname{ctg}\frac t2\,dt. \tag{g} \] Das Integral rechts ist im \textit{Cauchy}schen Sinne zu nehmen. Bei dem üblichen Wege, das Problem der Konvergenz und Summierbarkeit von (K) zu behandeln, wird die Existenz von \(g(x)\) vorausgesetzt und durch zusätzliche Bedingungen die Konvergenz oder Summierbarkeit von (K) gesichert. Dieser Weg versagt an den Stellen, wo \(g(x)\) nicht existiert. Verf. ersetzt nun \(g(x)\) durch \[ G(x) = \frac 1{4\pi}\int\limits_0^\pi \varPsi(t)\operatorname{cosec}^2\frac t2\,dt \tag{G} \] mit \[ \varPsi(t)= \int\limits_0^t\psi(u)\,du,\quad \psi(t)=f(x+t)-f(x-t). \] Dann bleiben die meisten bisherigen Sätze richtig, und es ergeben sich darüber hinaus neue Kriterien. Sie lauten: 1) Wenn (G) existiert, ist (K) konvergent zum Werte \(G(x)\), wofern \[ \lim_{n\to \infty}\int\limits_p^\pi\frac{\psi(t)}t\cos nt\,dt=0 \tag \(^*\) \] ist \(\left(p=\dfrac{4m+1}n\dfrac{\pi}2;\quad m \;\text{positiv ganz, beliebig}\right)\). -- Zum Erfülltsein dieser Bedingung (*) ist es hinreichend, wenn \[ \psi(t) =\frac 1t\int_0^th(t)\,dt\quad \text{mit}\quad \int\limits_0^t|h(t)|\,dt=O(t) \] gesetzt werden kann. 2) Wenn (G) existiert und \(\varPsi(t)=O(t)\) ist, besteht die notwendige und hinreichende Bedingung für die \(C_1\)-Summierbarkeit von (K) darin, daß \[ \int\limits_0^\delta \varPsi(t)\frac{\cos nt}{t^2}\,dt=o(1)\quad \text{ist} \quad (0 < \delta < \pi). \tag \(^{**}\) \] 3) Wenn (G) existiert, so ist für die \(C_1\)-Summierbarkeit von (K) hinreichend, daß (**) erfüllt ist.-- Aus diesem Kriterium leitet Verf. drei speziellere Formulierungen her. 4) Wenn für \(0\leqq x < 1\) \[ \sum_{n=1}^\infty (b_n \cos n\vartheta - a_n \sin n\vartheta) x^n=V(x,\vartheta) \] gesetzt wird, so strebt für \(x \to 1 - 0\) \[ V(x,\vartheta)-\frac 1{4\pi}\int\limits_\varepsilon^\pi\varPsi(t) \operatorname{cosec}^2\frac t2\,dt\to 0 \quad (\varepsilon= \arcsin (1 -x)), \] wofern für \(t \to + 0\) \[ \frac 1t \int\limits_0^t\varPsi(t)\frac {dt}t \to 0. \]