On the Cesàro sums of Fourier's and Laplace's series. (Q572600)

\(f(x)\) sei stetig und mit \(2\pi\) periodisch, und \(s_n^{(k)}(f(x))\) seien die \textit{Cesàro}schen Mittel \(k\)-ter Ordnung der Teilsummen ihrer \textit{Fourier}reihe. Entsprechend seien \(S_n^{(k)}(f(\vartheta,\varphi))\) die \textit{Cesàro}schen Mittel der \textit{Laplace}reihe einer auf der Einheitskugel stetigen Funktion \(f(\varphi,\vartheta)\). \textit{Fejér} hat vor langem gezeigt (1909; F. d. M. 40, 499 (JFM 40.0499.*)), daß für \(n\to \infty\) \[ s_n^{(1)}\to f(x), \quad S_n^{(2)}\to f(\vartheta,\varphi) \] strebt, und daß, wenn \(m\) und \(M\) das Minimum bzw. Maximum von \(f\) bedeuten, \(s_n^{(1)}\) und \(S_n^{(1)}\) niemals außerhalb des Intervalles \(<m,M>\) liegen. Während die erstgenannten Ergebnisse sich auf jede Ordnung \(k>0\) bzw. \(k >\frac 12\) ausdehnen lassen (\textit{M. Riesz}, 1909; F. d. M. 40, 315 (JFM 40.0315.*); \textit{T. H. Gronwall}, 1913; F. d. M. 44, 305 (JFM 44.0305.*)), zeigt Verf. jetzt, daß die zweitgenannten Ergebnisse sich auf kein \(k < 1\) bzw. \(< 2\) ausdehnen lassen.