Almost periodicity and general trigonometric series. (Q572601)

Verf. setzen das Ziel ihrer Arbeit zunächst an reinperiodischen Funktionen auseinander. Zugrunde gelegt wird der Raum der Funktionen mit der Periode \(2\pi\). Der ``Abstand'' \(d(f,g)\) zweier Funktionen \(f\) und \(g\) kann auf zweierlei Weisen, erklärt werden: I. \({} \hfill d_1(f,g)=\operatornamewithlimits{fin\,sup}\limits_{-\pi\leqq x\leqq \pi}|f(x)-g(x)|, \hfill {}\) II. \( {} \hfill d^p(f,g)=\left[\dfrac 1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{+\pi}|f(x)-g(x)|^p\,dx\right]^{\frac 1p}. \hfill {}\) \noindent Darin ist \(p\geqq 1\), und \(|f|^p\), \(|g|^p\) sollen im \textit{Lebesgue}schen Sinn meßbare Funktionen sein. \(f\) heißt ``Häufungspunkt'' von einer Folge \(\{f_n\}\), wenn \[ \lim_{n\to \infty} d(f,f_n) = 0 \] gilt. Unter \(A\) verstehe man die Menge aller trigonometrischen Polynome \(\sum a_\nu e^{i\nu x}\). Rechnet man zu \(A\) die Häufungspunkte hinzu, so erhält man zwei Arten von abgeschlossenen Hüllen \(C_1(A)\) bzw. \(C^p(A)\), je nachdem die erste oder zweite Definition des Abstandes zugrunde gelegt ist. Die erste Aufgabe ist es nun, die Funktionen der Klassen \(C_1(A)\) und \(C^p(A)\) durch ``innere Eigenschaften'' zu charakterisieren. Hier gilt: I. \(C_1(A) =\) Klasse der stetigen Funktionen mit der Periode \(2\pi\). II. \(C^p(A) = L^p\), \noindent wo \(L^p\) die Klasse der bis zur \(p\)-ten Potenz nach \textit{Lebesgue} absolut integrierbaren Funktionen mit der Periode \(2\pi\) bedeutet. Die zweite Aufgabe besteht in der Angabe eines Algorithmus zur Approximation der Funktionen der Klassen \(C_1(A)\) und \(C^p(A)\) durch trigonometrische Polynome. Dies wird durch die \textit{Fejér}schen Polynome \[ \sigma_N(x)=\frac 1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{+\pi} f(x+t)K_N(t)\,dt, \quad K_N=\sum_{\nu=-N}^{\nu=+N} \left(1-\frac{|\nu|}N\right)e^{-i\nu t} \] in dem Sinn geleistet, daß \[ d(f(x),\sigma_N(x))\to 0 \quad \text{mit} \quad N\to \infty \] gilt, wo für \(d\), je nachdem \(f\) zu \(C_1\) oder \(C^p\) gehört, \(d_1\) oder \(d^p\) zu wählen ist. Die Verallgemeinerung auf fastperiodische Funktionen vollzieht sich wie folgt: zugrunde gelegt wird der Raum der für \(-\infty<x<+\infty\) erklärten Funktionen. Unter \(M(f)\), \(\underline M(f)\), \(\overline M(f)\) sei bezüglich \(\lim\), \(\limsup\), \(\liminf\) von \[ \frac 1{2T}\int\limits_{-T}^Tf(t)\,dt \quad \text{für} \quad T\to \infty \] verstanden. Es werden vier Arten von ``Abstand'' unterschieden: I. \({}\hfill D_1[f(x),g(x)]=\operatornamewithlimits{fin\,sup}\limits_ {-\infty<x<+\infty}|f(x)-g(x)| \hfill {}\) \noindent (nach \textit{Bohr}). II. Für \(p\geqq 1\) und \(l> 0\) \[ D_{S_l^p}[f,g]=\operatornamewithlimits{fin\,sup}\limits_{-\infty<x<+\infty} \left[\frac 1l\int\limits_x^{x+l}(f(x)-g(t))^p\,dt\right]^{\frac 1p} \] (nach \textit{Stepanoff}). III. \({} \hfill D_{W^p}[f,g]=\lim\limits_{l\to \infty} D_{S_l^p}[f,g] \hfill {}\) \noindent (nach \textit{Weyl}). IV. Für \(p \geqq 1\) \[ D_{B^p}[f,g]=(\overline M\{|f(x)-g(x)|^p\})^{\frac 1p} \] (nach \textit{Besicovitch}). Die Klasse \(\mathfrak U\) wird nun als aus den trigonometrischen Polynomen \(\sum a_\nu e^{i\lambda_\nu x}\), bei beliebigen reellen \(\lambda_\nu\), bestehend erklärt. Durch Hinzunahme der Häufungspunkte \(f\) einer Folge \(\{f_n\}\) aus \(\mathfrak U\) (erklärt durch \(D[f,f_n]\to 0\)) entstehen jetzt, den verschiedenen Werten von \(D\) entsprechend, vier Arten von Hüllen: \[ C_1(\mathfrak U), \;C_{S^p}(\mathfrak U), \;C_{W^p}(\mathfrak U), \;C_{B^p}(\mathfrak U). \] Um nun diese durch innere Eigenschaften zu charakterisieren, wird der Begriff der Fastperiodizität entsprechend verallgemeinert. Die vier Abstandsdefinitionen liefern vier Arten von Verschiebungszahlen \(T\), die durch \[ D[f(x+\tau),f(x)]<\varepsilon \] erklärt sind. Wird der Begriff der relativen Dichtigkeit sinngemäß erweitert, so kommt man auf die bekannten Definitionen für fastperiodische Funktionen von I. \textit{Bohr}, bezeichnet durch \(\{f. p.\}\); II. \textit{Stepanoff}, bezeichnet durch \(\{S^p.f.p.\}\); III. \textit{Weyl}, bezeichnet durch \(\{W^p.f.p.\}\); IV. \textit{Besicovitch}, bezeichnet durch \(\{B^p.f. p.\}\). Nun gelten die Sätze: \quad I. \(C_1(\mathfrak U)= \{f.p.\}\); \quad II. \(C_{S^p}(\mathfrak U)= \{S^p.f.p.\}\); \quad III. \(C_{W^p}(\mathfrak U)= \{W^p.f.p.\}\); \quad IV. \(C_{B^p}(\mathfrak U)= \{B^p.f.p.\}\). Die Beweise beruhen im wesentlichen darauf, daß die gegebenen Funktionen, unter Zugrundelegung des betreffenden Abstandsbegriffs, durch beschränkte und dann durch solche der Klasse \(\{f. p.\}\) approximiert werden. Damit sind sie auf den Fall I zurückgeführt, der bereits von \textit{Bohr} (1924, 1925; F. d. M. 50, 196 (JFM 50.0196.*); 51, 212) erledigt worden ist. Zur Approximation einer gegebenen Funktion \(f(x)\) einer der vier Klassen durch Polynome \(\sum a_\nu e^{i\lambda_\nu x}\) wird nach dem Vorgang von \textit{Bochner} der \textit{Fejér}sche Kern \(K_N\) verallgemeinert, und die Approximationspolynome werden durch \[ \sigma_n(x) = M(f(x+t)K_n(t)) \] gebildet. Dann gilt \[ D[f(x), \sigma_n(x)] \to 0 \quad \text{für} \quad n \to \infty, \] wobei natürlich der jeweils der Klasse von \(f\) entsprechende Abstandsbegriff zu nehmen ist. In einem Anhang wird eine weitere Klasse von \(f.p.\) Funktionen untersucht \((\overline B.f.p.)\) die sich von den \(B^1.f.p.\) Funktionen dadurch unterscheidet, daß die dort in der Definition auftretende Bedingung \[ \overline M_x \overline M_i\frac 1c\int\limits_x^{x+c} |f(x)+\tau_i)-f(x)|\,dx< \varepsilon \tag{1} \] durch \[ \overline M_x \overline M_i|f(x)-f(x+\tau_i)|< \varepsilon \tag{2} \] ersetzt wird. Die Bedingung (2) erscheint natürlicher, da hier keine Integration auftritt. Es zeigt sich jedoch, daß (2) eine Folge von (1) ist, so daß also \(\{\overline B.f.p.\}\) in \(\{B^1.f.p.\}\) enthalten ist. Durch ein Beispiel wird dargetan, daß die Umkehrung nicht gilt. Die Bevorzugung von \(\{B^1.f.p.\}\) ist durch \[ \{B^1.f.p.\} = C_{B^1}(K) \] gerechtfertigt.