Über die \(C\)-Summierbarkeit gewisser Reihen von Didon und Appell. (Q572611)

Verf. betrachtet ein biorthogonales System von Polynomen \(U_{m_1,\ldots,m_n}^{(s)}\), \(V_{m_1,\ldots,m_n}^{(s)}\), für das also das über die \(n\)-dimensionale Einheitskugel erstreckte Integral \[ \int Y_n^{\frac {s-1}2}U_{l_1,\ldots,l_n}^{(s)}(\mathfrak y) V_{m_1,\ldots,m_n}^{(s)}(\mathfrak y)\,dy_1\ldots dy_n \quad (Y_n=1-\sum y^2; \;\mathfrak y: y_1, \ldots, y_n) \] verschwindet oder nicht, je nachdem \(\sum(l_h-m_h)^2\) positiv oder Null ist. Man kann dann jeder Funktion \(f(\mathfrak y)\) in \(Y_n >0\) Reihen \[ \sum AU^{(s)}(\mathfrak y)\quad \text{bzw.} \quad \sum BV^{(s)}(\mathfrak y) \] formal zuordnen; die Koeffizienten drücken sich ähnlich wie bei \textit{Fourier}reihen durch bestimmte Integrale aus (vgl. \textit{P. Appell}, \textit{J. Kampé} de \textit{Fériet}; Fonctions hypergéométriques et hypersphériques, polynomes d'Hermite; 1926; F. d. M. 52, 361 (JFM 52.0361.*)-364). Verf. zeigt zunächt unter Benutzung der Formel in der \(\mathfrak Y\) die Reihe der \(n+s-1\) Variablen \(y_1,\ldots, y_n, y_{n+1},\ldots, y_{n+s-1}\) bezeichnet: \[ \begin{multlined} {\idotsint\limits_{Y_{n+s-1}}^{(s-1)}}_{\geqq 0} U_{m_1,\ldots,m_n,0,\ldots,0}(\mathfrak Y)\,dy_{n+1}\cdots dy_{n+s-1} \\ =\frac{\pi^{\frac{s-1}2}}{\varGamma\left(\dfrac{s+1}2\right)} \frac{\mu!(s-1)!}{(\mu+s-1)!}Y_n^{\frac{s-1}2} U_{m_1,\ldots,m_n}^{(s)}(\mathfrak y), \end{multlined} \] die er ableitet, daß sich der allgemeine Fall auf den Fall \(s=1\) (\textit{Didon}sche Reihe) zurückführen läßt; dieser kann aber als Spezialfall der \textit{Laplace}schen Reihe auf der Überkugel angesehen werden. Für die \((C,\delta)\)-Summierbarkeit dieser Reihe liegen neuere Untersuchungen vor (\textit{K. K. Chen}, 1928; F. d. M. 54, 397 (JFM 54.0397.*); vgl. auch Verf., 1929; JFM 55.0221.*), die somit auf die \textit{Appell}schen Reihen mit gewissen Modifikationen Anwendung finden. Es zeigt sich, daß im allgemeinen, wenn \(f\) auf der Einheitskugel absolut integrabel ist, die \((C,\delta)\)-Mittel (\(\delta \geqq n+ s)\) gegen den Funktionswert gehen; bei \[ \frac{n+s-1}2<\delta < n+s-1 \] muß noch eine Zusatzbedingung erfüllt sein. Entsprechendes gilt an Unstetigkeitsstellen der Funktion \(f\). (IV 6 A.)