On summable trigonometric integrals. (Q572621)

Verf. verallgemeinert einen Satz von \textit{M. Jacob} (1927 ; F. d. M. 53, 260 (JFM 53.0260.*)-261) über die Eindeutigkeit der Darstellung durch ein trigonometrisches Integral \[ \int\limits_0^\infty \{A(\lambda)\cos \lambda x+ B(\lambda) \sin \lambda x\}\,dx. \] Man setze \[ \begin{gathered} P(\eta,x)=\int\limits_0^\infty e^{-\lambda x} \{A(\lambda)\cos \lambda x+ B(\lambda) \sin \lambda x\}\,d\lambda, \\ \limsup_{\eta\to +0}P(\eta,x)=\overline P(x), \quad \liminf_{\eta\to +0}P(\eta,x)=\underline P(x). \end{gathered} \] Verf. beweist dann: Wenn die Funktionen \(A(\lambda)\), \(B(\lambda)\) in jedem endlichen Intervall \((0, X)\) absolut integrierbar sind und für \(\mu \to 0\) \[ \int\limits_\mu^{\nu+1} \{A(\lambda)\}^2\,d\lambda=o(\mu^2), \quad \int\limits_\mu^{\mu+1} \{B(\lambda)\}^2\,d\lambda=o(\mu^2) \] ist, und wenn \(\overline P(x)\), \(\underline P(x)\) überall endlich und absolut integrierbar entweder (1) in \((-\infty,+\infty)\) oder (2) in jedem endlichen Intervall \((-X,+X)\) sind, dann gilt fast überall \[ \overline P(x)=\underline P(x)=f(x). \] Ferner ist im Falle (1) fast überall \[ A(\lambda)= \frac 1\pi\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cos \lambda x\,dx, \quad B(\lambda)=\frac 1\pi \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin \lambda x\,dx, \] während im Falle (2) diese Gleichungen fast überall im \((C,2)\)-Sinne gelten. Dieser Satz ist das Analogon zu der vom Verf. gegebenen Verallgemeinerung (Proceedings L. M. S. (2) 31 (1930), 370-386; JFM 56.0249.*) eines Satzes von \textit{de la Vallée Poussin} über die Eindeutigkeit der Darstellung durch eine trigonometrische Reihe.