A study of indefinitely differentiable and quasianalytic functions. I, II. (Q572650)

Die beiden vorliegenden Noten zerfallen insgesamt in drei Teile: I. Im ersten Teil werden Reihen der Form \[ \sum_{k=1}^\infty x_k f(a_k x) \quad \text{oder} \quad \sum_{k=-\infty}^\infty x_kf(a_kx) \] betrachtet, in denen \(f(x)\) eine ganze Funktion bedeutet, die mit ihren Ableitungen für alle reellen Werte \(x\) Ungleichungen \[ |f^{(p)}(x)|<h \quad (p = 0,1,2,\ldots) \] (\(h\) unabhängig von \(p\) und \(x\)) erfüllt. Es werden Reihen dieser Art konstruiert, welche gleichzeitig die folgenden Eigenschaften aufweisen: (a) Sie stellen eine auf der ganzen reellen Achse definierte, an jeder Stelle \(x\) derselben unbegrenzt differenzierbare Funktion \(S(x)\) dar. (b) Die Ableitungen \(S^{(m)}(x)\) (\(m= 0,1,2,\ldots\)) dieser Funktion besitzen an einer vorgegebenen Stelle vorgegebene Werte. (c) Der Betrag jeder Ableitung \(S^{(m)}(x)\) (\(m=0,1,2,\ldots\)) läßt sich für die ganze reelle Achse gleichmäßig abschätzen. II. Der zweite Teil bezieht sich auf eine Klasse quasi-analytischer Funktionen einer komplexen Veränderlichen, die im \textit{Borel}schen Sinn monogenen Funktionen. Wie \textit{Borel} gezeigt hat, bestehen für diese Funktionen ein Integralsatz und eine Integralformel, welche als Spezialfall den \textit{Cauchy}schen Integralsatz und die \textit{Cauchy}sche Integralformel für analytische Funktionen enthalten. Durch die vorliegende Untersuchung soll gezeigt werden, daß sich Eigenschaften im \textit{Borel}schen Sinn monogener Funktionen in derselben Weise aus den \textit{Borel}schen Formeln ableiten lassen, wie die entsprechenden Eigenschaften analytischer Funktionen aus den \textit{Cauchy}schen Formeln. Zuerst wird eine allgemeine Form der Reihenentwicklung einer in einem \textit{Cauchy}schen Gebiet im \textit{Borel}schen Sinn monogenen Funktion angegeben, sodann umgekehrt untersucht, wie weit Reihen dieser Form im \textit{Borel}schen Sinn monogene Funktionen darstellen. Weiter werden das Analogon des \textit{Weierstraß}schen Doppelreihensatzes sowie Sätze über die Nullstellen im \textit{Borel}schen Sinn monogener Funktionen bewiesen, und schließlich wird die Frage der Fortsetzung dieser Funktionen erörtert. Zum Schluß dieses Teils werden als Anfänge einer Theorie ``quasi-harmonischer'' Funktionen, worunter die Realteile \(h(x,y)\) der im \textit{Borel}schen Sinn monogenen Funktionen \(f(z)\) (\(z=x+iy\)) verstanden werden, für diese Funktionen Analoga der \textit{Green}schen Formeln bewiesen und einige Folgerungen aus ihnen gezogen. III. Im dritten Teil werden einige Fragen der Darstellung quasi-analytischer Funktionen behandelt: (a) Es sei \(A_1\), \(A_2\), \dots, \(A_m\), \dots eine Folge positiver Zahlen, für die \(\sum\limits_m A_m^{-\frac 1m}\) divergiert, und es sei \(\mathfrak C_A\) die nach dem Satz von \textit{Denjoy} dazu gehörige Klasse quasianalytischer Funktionen für das Intervall \(<0,a>\). Nach einem Satz von \textit{Carleman} (1926; F. d. M. 52, 255 (JFM 52.0255.*); vgl. insbesondere p. 72 des dort besprochenen Buches) gibt es dann eine nur von den Größen \(A_m\) abhängige Doppelfolge \(\omega_{n,i}\) derart, daß sich jede Funktion der Klasse \(\mathfrak C_A\) aus ihren Ableitungen an der Stelle 0 darstellen läßt in der Form \[ f(x)=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n,i} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i. \] Verf. hat bereits in einer früheren Note (Annals of Math. (2) 30 (1929), 526-546; JFM 55.0760.*) unter Benutzung der \textit{Carleman}schen Methode eine andere Darstellung von \(f(x)\) aus seinen Ableitungen an der Stelle 0 gegeben, die die Form \[ f(x)=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n,i}\varphi_i(x) \] hat, wo die \(\varphi_i(x)\) gewisse, von den \(f^{(i)}(0)\) abhängige Funktionen von \(x\) sind. Daran anknüpfend werden hier weitere Darstellungen dieser Form gewonnen. (b) Es sei \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \dots, \(\alpha_\nu\), \dots eine Folge positiver Zahlen, und es sei \(f(x)\) eine unbegrenzt differenzierbare Funktion, die durch eine Reihe \[ a_0+a_1\cos x + a_2 \cos 2x + \ldots \tag \(^*\) \] definiert ist, deren Koeffizienten die Ungleichungen \[ |a_\nu|< A\alpha_\nu \quad (\nu=1,2,\ldots; \;A= \;\text{const}) \] erfüllen. Notwendig und hinreichend dafür, daß \(f(x)\) durch die Ableitungen \(f^{(2p)}(0)\) bestimmt ist, ist die Bestimmtheit des Momentenproblems \[ \int\limits_0^\infty x^n\,d\psi(x)=\sum_{\nu=1}^\infty \alpha_\nu^2\nu^{2n}. \] Ist weiter für eine quasi-analytische Funktion dieser Art \(\sum\limits_n A_n^{-\frac 1{2n}}\) mit \(A_n=\sum\limits_{\nu=0}^\infty \alpha_\nu\nu^{2n}\) divergent, so läßt sie sich unter Zuhilfenahme eines \textit{Stieltjes}schen Kettenbruchs einfach durch ihre Ableitungen \(f^{(2p)}(0)\) darstellen. Die vorliegende Note liefert die Ausdehnung dieser Ergebnisse von \textit{Carleman} (vgl. p. 95 des oben angeführten Buches) auf unbegrenzt differenzierbare Funktionen, welche durch Reihen \[ a_0+a_1p(x)+a_2p(2x)+ \ldots, \quad |a_\nu|<A\alpha_\nu \quad (\nu=1,2,\ldots; \;A = \;\text{const}) \] definiert sind, wobei die an die Stelle von \(\cos x\) tretende Funktion \(p(x)\) eine nur bestimmten Bedingungen genügende, gerade ganze Funktion sein darf. (c) Schließlich werden für gewisse Klassen quasi-analytischer Funktionen, die durch Reihen der unter (b) genannten Form \[ a_0+a_1p(x)+ a_2p(2x)+ \ldots \tag \(^*\) \] definiert sind, im Anschluß an \textit{de la Vallée Poussin} (1925; F. d. M. 51, 210 (JFM 51.0210.*); insbesondere p. 157 ff. der dort besprochenen Arbeit) und \textit{Carleman} (p. 65 ff. des oben angeführten Buches) die beiden Aufgaben erörtert: (\(\alpha\)) Es sollen notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben werden, daß eine Zahlenfolge \(c_{2i}\) (\(i=0,1, 2,\ldots\)) die Folge der Ableitungen \(f^{(2i)}(0)\) einer derartigen Funktion darstellt. (\(\beta\)) Gegebenenfalls sollen aus den Werten \(c_{2i}\) die Koeffizienten \(a_\nu\) der die Funktion darstellenden Reihe (*) berechnet werden. Diese Untersuchungen werden noch ausgedehnt auf quasi-analytische Funktionen, die sich durch gewisse Reihen rationaler Funktionen darstellen lassen.