Sur les différentielles totales des fonctions univalentes. (Q572656)

Man setze \[ L(x,y)=\limsup_{\varDelta x\to 0,\,\varDelta y \to 0} \frac{u(x+\varDelta x,y+\varDelta y)-u(x,y)}{\sqrt {\varDelta x^2+\varDelta y^2}}. \] Man sagt, \(u(x,y)\) habe an der Stelle \(x\), \(y\) ein \textit{Stolz}sches Differential (Verf. schreibt \textit{Stoltz}), wenn daselbst \(\frac{\partial u}{\partial x}\) und \(\frac{\partial u}{\partial y}\) existieren, und wenn \[ u(x+\varDelta x,y+\varDelta y)-u(x,y)=\frac{\partial u}{\partial x} \varDelta y+ \frac{\partial u}{\partial y}\varDelta y+ h(\varDelta x, \varDelta y) \] mit \[ \lim _{\varDelta x\to 0,\,\varDelta y \to 0} \frac{h(\varDelta x, \varDelta y)}{\sqrt {\varDelta x^2+\varDelta y^2}}=0 \] ist. Verf. beweist dann den folgenden Satz: \(f(x)\) sei stetig und schlicht in einem Bereich \(B\). Dieser enthalte eine Menge \(\mathfrak M\) von positivem Maß, deren jeder Punkt \(z\) Endpunkt zweier geradliniger Strecken \(t_1\), \(t_2\) auf zwei verschiedenen Geraden sei, so daß \[ L(z,t_1) < + \infty, \quad L(z,t_2)< + \infty \] ist. Dann besitzt \(f(z)\) fast überall in \(\mathfrak M\) ein \textit{Stolz}sches Differential.