Über das Schwarzsche Lemma. (Q572676)

In der ersten Arbeit verallgemeinert und verschärft Verf. einen Koebe-Landauschen Satz [\textit{E. Landau}, J. Reine Angew. Math. 161, 135--136 (1929; JFM 55.0211.01)]: Es seien \(p\) und \(\nu\) positiv ganz, \(p>\nu\), und \[ f(x)=x^{-\nu}+ax^{p-\nu}+bx^{p-\nu+1}+\cdots \] sei für \(0<|x|\le r\) regulär; ferner falle \[ M(\varrho)=\operatorname{Max}_{|x|=\varrho}|f(x)| \] für \(0<\varrho\le r\) monoton; dann ist \[ r^\nu M(r)\le \frac{p+\nu}{p-\nu}, \quad r^p|a|\le \frac{4p\nu}{p^2-\nu^2}. \] Die Abschätzungen sind genau, und die Funktionen, für die das Gleichheitszeichen gilt, werden angegeben; außerdem werden die Abschätzungen verschärft für den Fall, daß \(f(x)\ne 0\) ist für \(0 <|x|\le r\). Zuerst wird auf Grund des Hadamardschen Dreikreisesatzes gezeigt, daß die Voraussetzung des monoton fallenden \(M(\varrho)\) in der schwächeren \(M_{\_}'(r)\le 0\) enthalten ist. Im übrigen beruht der Beweis auf einer Verschärfung des Schwarzschen Lemmas, die aus dem Schurschen Algorithmus fließt [\textit{I. Schur}, J. Reine Angew. Math. 147, 205--232 (1917); 148, 122--145 (1918); JFM 46.0475.01], wobei die höheren Koeffizienten der beschränkten Funktion in die Betragsabschätzung eingehen. Daraus läßt sich \(\varrho\dfrac{M'(\varrho)}{M(\varrho)}\) (wo \(M'(\varrho)\) nach Belieben die vordere oder hintere Ableitung bedeutet) nach unten abschätzen, wovon in der ersten Arbeit nur ein spezieller Fall gebraucht wird. In der zweiten Arbeit wird die eben genannte Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas nochmals behandelt und die Abschätzung von \(\varrho\dfrac{M'(\varrho)}{M(\varrho)}\) allgemein durchgeführt.