Wachstumsordnung, Koeffizientenwachstum und Nullstellendichte bei Potenzreihen mit endlichem Konvergenzkreis. (Q572682)

\(f(z)\) sei in \(|z|<1\) regulär. Gibt es eine positive Zahl \(\sigma\), für die \[ \lim_{r\to 1}\frac{M(r)}{\exp\left(\dfrac 1{1-r}\right)^\sigma}=0 \] ist, so heißt die untere Grenze \(\mu\) dieser Zahlen Wachstumsordnung von \(f(z)\). Gibt es kein solches \(\sigma\), so heißt \(\infty\) die Wachstumsordnung von \(f(z)\). Es sei \[ f(z)=\sum c_nz^n. \] Falls \(c_n \to 0\), so heißt 0 die Wachstumsordnung der Koeffizienten. Sonst heißt Wachstumsordnung \(\gamma\) der Koeffizienten die untere Grenze derjenigen Zahlen \(\sigma\), für die \[ \lim_{n\to \infty}\frac{|c_n|}{e^{n\sigma}}=0 \] ist. Es ist \(0\leqq \gamma\leqq 1\). Hat \(f(z)\) keine Nullstelle in \(|z|< 1\), so heißt 0 die Nullstellendichte. Gilt \[ \lim_{r\to 1}\frac{n(r)}{\left(\dfrac 1{1-r}\right)^\sigma}=0 \tag{1} \] für kein \(\sigma>0\), so heißt \(\infty\) die Nullstellendichte. Sonst heißt Nullstellendichte \(\omega\) die untere Grenze derjenigen Zahlen \(\sigma\), für die (1) gilt. Es ist \[ \mu=\frac{\gamma}{1-\gamma}, \quad \omega\leqq \mu+1. \] Es gibt zu jedem \(\mu\) Funktionen, für die \(\omega=\mu+1\) ist. Insbesondere werden noch die Analoga der primitiven Funktionen betrachtet. Für sie ist \[ \mu\leqq \omega \leqq \mu+1. \] Die Ergebnisse sind natürlich zum Teil in der Theorie von \textit{R. Nevanlinna} (1925; F. d. M. 51, 254 (JFM 51.0254.*)) enthalten.