Remarques sur les fonctions monotones. (Q572692)

Verf. verschärft einen Satz von \textit{Borel} (1897; F. d. M. 28, 360 (JFM 28.0360.*)) folgendermaßen: Es sei \(\varphi(r)\) eine positive und abnehmende Funktion von \(r\), für die \(\int\limits^\infty \dfrac{\varphi(t)}{t\log t}\,dt\) konvergiert. Ist \(u(r)\) eine nicht abnehmende Funktion, die für positive \(r\)-Werte ebenfalls positive, endliche Werte annimmt, so gilt \[ u\{r+\varphi[u(r)]\}<[u(r)]^{1+\varepsilon} \] für jeden Wert \(r > r_0 > 0\) mit Ausnahme einer Menge von \(r\)-Werten, deren Maß die Größe \[ \varphi(u_0)+\frac 1{\log(1+\varepsilon)}\int\limits_{u_0}^\infty \dfrac{\varphi(t)}{t\log t}\,dt \] nicht übersteigt. Verf. wendet diesen Satz an, um folgende Beziehung zwischen dem Maximum \(M(r)\) einer ganzen Funktion und dem Maximum \(M_1(r)\) ihrer Ableitung herzustellen: Ist \(\psi(t)\) positiv für \(t > 0\), \(\dfrac{\psi(t)}t\) zunehmend, und konvergiert \( \int\limits^\infty \dfrac{dt}{\psi(t)}\), so ist \[ M_1(r)< \psi[M(r)] \] mit Ausnahme von höchstens einer Menge von \(r\)-Werten mit endlichem Maß. (IV 3 B.)