Über eine asymptotische Eigenschaft der Ableitungen der ganzen Funktionen von den Geschlechtern 1 und 2 mit einer endlichen Zahl von Nullstellen. (Q572693)

(1) Ist \(f(z)\) ganz rational, so haben die Nullstellen der Ableitungen von \(e^zf(z)\) als einzigen Häufungspunkt \(z=\infty\). Ist außerdem \(f(z)\) reell, so sind die sämtlichen Nullstellen aller Ableitungen hinreichend hoher Ordnung von \(e^zf(z)\) reell. (2) Ist \(f(z)\) ganz rational vom Grade \(k\), so nähern sich die Nullstellen der \(n\)-ten Ableitung von \(\exp\left(-\dfrac {z^2}2\right)f(z)\) für \(n \to \infty\) unbegrenzt den Nullstellen des \textit{Hermite}schen Polynoms \(H_{n+k}(z)\) (die sämtlich, reell sind). (3) Wie Verf. mitteilt, hat \textit{Ålander} kürzlich gezeigt, daß es ganze Funktionen jeder beliebigen Ordnung gibt, deren Ableitungen in der Nähe jedes Punktes der komplexen Ebene Null werden. Verf. stellt dem die \textit{Vermutung} gegenüber, daß die Häufungspunkte der Nullstellen der Ableitungen von \(e^zf(z)\), wo \(f(z)\) von nullter Ordnung ist, entweder die ganze reelle Achse ausmachen oder sich auf den einzigen Punkt \(\infty\) reduzieren.