Eine Bemerkung über ganze Funktionen. (Q572694)

Wenn \(G(z)=\sum\limits_1^\infty A_\nu z^\nu\) eine ganze Funktion ist, so ist auch \[ H(z)=\sum_1^\infty \frac 1nG\left(\frac zn\right)=\sum_1^\infty A_\nu\zeta(\nu+1)z^\nu \] ganz. Ist \(G(z)=O\left(\dfrac 1{z^\alpha}\right)\), \(\alpha>0\), so ist \(H(z)\) beschränkt. Die Frage, ob auch \(H(z)=O\left(\dfrac 1{z^\alpha}\right)\) sein kann, beantwortet der Verf. bejahend auf Grund des folgenden Satzes: Für die ganze Funktion \(g(z)=\sum\limits_0^\infty a_\nu z^\nu\) sei \(\lim\limits_{n\to \infty} n\root n \of{|a_n|}=0\); ferner sei \(g(z) \to 0\) für \(z \to +\infty\). Dann konvergiert \(\sum\limits_1^\infty(-1)^{n-1}g(nz)\) für \(z>0\) und stellt eine ganze Funktion dar. An einem Beispiel aus der Theorie der \textit{Bessel}schen Funktionen wird dann die obige Frage erledigt. Als weiteres Beispiel wird die Funktion \[ g(z)=\sum_1^\infty \frac{(-1)^{\nu-1}z^\nu}{\nu!\varGamma\left(1+ \dfrac \nu 2\right)\zeta(\nu+1)} \] betrachtet. Es wird gezeigt, daß \(g(z)=O(z^{-\alpha})\) für \(z\to + \infty\) gleichbedeutend mit der Aussage ist, daß \(\zeta(s)\neq 0\) für \(\Re(s)>1-\alpha\) ist. Es erscheint aber aussichtslos, aus dem Verhalten der zugehörigen Funktion \(h(z)\) etwas über \(g(z)\) zu schließen.