Sur les directions de Borel des fonctions entières. (Q572711)

Ist \(f(z)\) eine ganze Funktion von der Ordnung \[ \varrho=\limsup_{r\to \infty} \frac{\log\log M(r)}{\log r} \quad (M(r)=\operatorname{Max} |f(z)| \quad \text{für} \quad |z|=r), \] so heiße \(\varphi=\varphi_0\) eine \textit{Borel}sche Richtung von der Ordnung \(\varrho'\) (\(\varrho' \leqq \varrho\)), falls in jedem Winkel \(|\varphi-\varphi_0|\leqq \varepsilon\) die Dichte der Nullstellen \(c_\nu(\varphi_0;\varepsilon)\) von \(f(z)-c\) (mit höchstens einer Ausnahme \(c\)) gleich \(\varrho'\) ist. Darunter versteht man, daß die Reihe \[ \sum |c_\nu(\varphi_0;\varepsilon)|^{-\lambda} \] für jedes \(\lambda > \varrho'\) konvergiert und für jedes \(\lambda<\varrho'\) divergiert. Der Grenzübergang \(\varepsilon \to 0\) führt zum Begriff des mittleren Konvergenzexponenten \(\sigma(\varphi_0;c)=\sigma(\varphi)\) mit einer einzigen Ausnahme \(c\). Für eine beliebige Richtung \(\varphi\) kann man ebenfalls von einem mittleren Konvergenzexponenten sprechen; jedoch besteht hier im allgemeinen die Ausnahmemenge nicht nur aus einem Punkt. Analog kann man den Begriff der Ordnung \(\varrho(\varphi)\) der Funktion \(f(z)-c\) in der Richtung \(\varphi\) bilden, indem man den Limes ihrer Ordnung in jedem Winkel \(\varphi \pm \varepsilon\) (\(\varepsilon \to 0\)) nimmt. Andrerseits kann man direkt eine Strahlordnung \(\varrho^*(\varphi)\) durch \[ \varrho^*(\varphi)=\limsup_{r\to \infty}\frac{\overset {+} \log \overset {+} \log|f(re^{i\varphi})|}{\log r} \] einführen. In der vorliegenden Arbeit werden zuerst unter Benutzung des \textit{Phragmén-Lindelöf}schen Satzes wichtige Resultate über den Verlauf von \(\varrho(\varphi)\) angegeben, sowie über gegenseitige Beziehungen zwischen \(\varrho(\varphi)\) und \(\varrho^*(\varphi)\). So wird z. B. gezeigt, daß die Ungleichung \(\varrho^*(\varphi)<\varrho(\varphi)\) höchstens in \(2\varrho\) Unstetigkeitspunkten von \(\varrho(\varphi)\) statthaben kann. Auch \(\sigma(\varphi)\) steht zu \(\varrho(\varphi)\) in analoger Beziehung, wie in der Theorie der ganzen Funktionen der Konvergenzexponent zu der Ordnung \(\varrho\). Als eins der wichtigsten Resultate ist folgendes zu erwähnen: Die Endpunkte eines ``größten'' Intervalls, für das \(\varrho(\varphi)\geqq \varrho'\) gilt, sind Richtungen mit \(\sigma\geqq \varrho'\). Dasselbe gilt, wenn \(\varrho(\varphi)\) durch \(\varrho^*(\varphi)\) ersetzt wird. Schließlich bilden die beiden Endpunkte eines ``größten'' Intervalls, für das \(\varrho^*(\varphi)=\varrho\) ist, \textit{Borel}sche Richtungen von der Ordnung \(\varrho\). In einem letzten Teil wird gezeigt, daß sowohl \(f(z)\) wie \(f'(z)\) dieselbe Funktion \(\varrho^*(\varphi)\) entspricht.