Sur les directions de Borel des fonctions méromorphes d'ordre fini. (Q572712)

\(f(z)-c\) sei eine ganze transzendente Funktion von \(z=re^{i\varphi}\), deren Nullstellen in \(\theta-\alpha\leqq \varphi \leqq \theta+\alpha\) (\(\alpha > 0\)) mit \(c_n(\theta;\alpha\)) (\(n = 1, 2, \ldots\)) bezeichnet werden mögen. Zuerst wird folgendes gezeigt: Ist \[ \sum|c_n(\varphi_0;\alpha)|^{-\varrho} \quad (\varrho > \tfrac 12) \] divergent, so gibt es immer in jedem Winkel von der Öffnung \(>\dfrac \pi \varrho\), der den Winkel \(\varphi_0-\alpha \leqq \varphi\leqq \varphi_0+\alpha\) vollständig im Innern enthält, mindestens eine \textit{Borel}sche Divergenzrichtung \(B(\varrho)\), für die \(\varphi\) den Wert \(\eta\) habe, derart, daß für jedes \(\varepsilon > 0\) die Reihe \(\sum|c_n(\eta;\varepsilon)|^{-\varrho}\) divergiert, mit höchstens einer Ausnahme für \(c\). Im Falle einer meromorphen Funktion treten bekanntlich höchstens zwei Ausnahmewerte auf. Diese Richtungen hängen in einem gewissen Sinne mit den Werten \(\varphi\) zusammen, für welche das Integral \[ L(\varphi)=\int\limits_1^\infty \frac{\overset {+} \log\, |f(re^{i\varphi})|}{r^{\varrho+1}}\,dr \] divergiert. -- Ein zweiter Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Studium von solchen Richtungen. Insbesondere wird gezeigt, daß, wenn \[ \int\limits^\infty \frac{\log M(r)}{r^{\varrho+1}}\,dr \quad (M(r)=\operatorname{Max}|f(z)| \;\text{für} \;|z|= r) \] divergiert, \(f(z)\) mindestens zwei \textit{Borel}sche Divergenzrichtungen \(B(\varrho)\) besitzt. Falls \(f(z)\) sogar nur diese zwei Richtungen besitzt, so bilden beide einen Winkel \(\dfrac \pi\varrho\). In einem letzten Teil werden einige Eigenschaften von \(L(\varphi)\) studiert.