Über die Werteverteilung der eindeutigen analytischen Funktionen. (Q572720)

In diesen vier Vorlesungen, die Verf. am Mathematischen Seminar der Universität Hamburg gehalten hat, gibt er einen Einblick in die Resultate und Probleme der Theorie, die er selbst seinerzeit auf eine neue, für den weiteren Ausbau entscheidende Grundlage gestellt hatte (1925; F. d. M. 51, 254 (JFM 51.0254.*)-256). Vollständigkeit konnte dabei natürlich nicht angestrebt werden; dafür gibt die Verbindung von ungelösten Problemen und unbewiesenen Vermutungen mit bereits gesicherten Resultaten einen um so lebendigeren Eindruck von diesem schönen und aussichtsreichen Forschungsgebiet. Die erste Vorlesung behandelt den ersten Hauptsatz der Theorie, der noch ziemlich vollständig bewiesen wird; im Vordergrund steht die Analogie der meromorphen Funktionen zu den rationalen. Das auch nachher noch wiederholt gebrauchte Beispiel \[ w(z)=\int\limits_0^ze^{t^q}\,dt \] dient zur Erläuterung. Erwähnung findet auch die von \textit{A. Bloch} (1926; F. d. M. 52, 315 (JFM 52.0315.*)-316), \textit{Shimizu} (1929; JFM 55.0196.*) und \textit{Ahlfors} (1930; JFM 56.0278.*-279) eingeführte Deutung der charakteristischen Funktion \(T(r)\). In der zweiten Vorlesung wird der Grundgedanke, der zum zweiten Hauptsatz führt, an der eben erwähnten speziellen Funktion erläutert, wobei die Vermutung einer Gleichung an Stelle der Ungleichung auftaucht. Weiterhin werden in dieser und der dritten Vorlesung dieselben Gedanken entwickelt wie in dem Vortrag vor dem siebenten skandinavischen Mathematikerkongreß (1930; JFM 56.0277.*). In der vierten Vorlesung wird das durch das Vorhergehende nahegelegte Problem behandelt, zu einer \textit{Riemann}schen Fläche von gegebener Verzweigtheit (für die die Summe der Defekte und Verzweigungsindices höchstens gleich 2 sein darf), eine meromorphe Funktion herzustellen. Selbstverständlich läßt es sich, insbesondere in dem vorliegenden engen Rahmen, längst nicht in voller Allgemeinheit erledigen. Verf. beschränkt sich auf den Fall, daß über endlich vielen Punkten \(a_1\), \dots, \(a_q\) je eine gegebene endliche Anzahl von logarithmischen Verzweigungspunkten liegen. In den Fällen \(q = 2\) und \(q = 3\) gibt es dann einen wohlbestimmten Flächentypus; dagegen gibt es für \(q\geqq 4\) deren unendlich viele, und zu jedem gehört genau eine meromorphe Funktion mit der Defektsumme 2. Mittels der universellen Überlagerungsfläche der in den Punkten \(a_1\), \dots, \(a_q\) punktierten Ebene wird das Problem, die zu einem solchen Flächentypus gehörige einwertige Funktion zu bestimmen, uniformisiert, womit es zurückgeführt ist auf die Bestimmung einer automorphen Funktion, die zu einer gegebenen Untergruppe der Gruppe einer gewissen automorphen Funktion gehört. Eine vollständige Darstellung der hier nur skizzierten Methode wird in Aussicht gestellt und ist inzwischen erschienen (Über Riemannsche Flächen mit endlich vielen Windungspunkten, Acta Math. 58 (1932), 295-373; F. d. M. 58). (IV 5.)