Zur Bestimmung des Typus einer Riemannschen Fläche. (Q572729)

Eine einfach zusammenhängende \textit{Riemann}sche Fläche ist konform entweder auf die unendliche Ebene (parabolischer Fall) oder auf eine endliche Kreisscheibe abbildbar (hyperbolischer Fall). Man kennt bisher drei Kriterien für das Auftreten dieser Fälle: \textit{Picard}: Drei Stellen unbedeckt; \textit{hyperbolisch}. \textit{Bloch}: Die Fläche enthält keine beliebig großen schlichten Kreisscheiben; \textit{hyperbolisch}. \textit{R. Nevanlinna}: Keine Windungspunkte endlicher Ordnung, nur endlich viele Windungspunkte unendlicher Ordnung; \textit{parabolisch}. Verf. fügt ein neues Kriterium an: Wenn die Verzweigungspunkte genügend selten und von genügend niedriger Ordnung sind, so ist die Fläche \textit{parabolisch}. In genauer Fassung lautet das Ergebnis so: Die einfach zusammenhängende Fläche \(F\) habe im Endlichen nur algebraische Verzweigungspunkte, \(n(\varrho)\) sei die Anzahl derselben, die von einem festen Punkte der Fläche aus durch einen Weg der Fläche von der Höchstlänge \(\varrho\) erreicht werden können. Jeder Verzweigungspunkt wird dabei mit seiner Blätterzahl gezählt. Wenn dann \[ \int\limits^\infty \frac{d\varrho}{n(\varrho)} \] divergiert, so ist die Fläche parabolisch. Das ist z. B. der Fall, wenn \(n(\varrho)<k\log \varrho\) ist, während \textit{Bloch} \(n(\varrho)>k\varrho\) verlangt. (IV 5.)