Über das Verhalten der Potenzreihen auf dem Rande des Konvergenzkreises. I, II. (Q572746)

I. Zunächst wird eine Erweiterung des \textit{Abel}schen Grenzwertsatzes gegeben, bei deren Beweis indessen ein Fehler unterlaufen ist, den Verf. in einer dritten Mitteilung (M. Z. 37 (1933), 85-89; JFM 59.0318.*) korrigiert hat; in deren Besprechung ist der richtige Satz formuliert. Weiter wird ein sehr einfaches Beispiel einer Potenzreihe gegeben, die auf dem ganzen Rande des Konvergenzkreises \textit{gleichmäßig}, \textit{aber nicht absolut} konvergiert, und endlich ein Beispiel einer Potenzreihe, deren Koeffizienten gegen Null streben, die aber auf dem ganzen Rande des Einheitskreises divergiert. II. Verf. gibt schließlich ein besonders durchsichtiges Beispiel einer Potenzreihe, deren Konvergenz- und Divergenzpunkte auf dem Rande des Konvergenzkreises je überall dicht liegen. Der Typ aller dieser Beispiele ist der, daß eine Polynomreihe der Form \[ \sum_\nu c_\nu[\tfrac 12 x(1+\varepsilon_\nu x^{q_\nu})]^{k_\nu} \] mit \(|\varepsilon_\nu|=1\) bei geeignet starkem Wachstum der Exponenten \(g_\nu\), \(k_\nu\) durch Entwicklung der eckigen Klammern unmittelbar in eine gewöhnliche Potenzreihe der verlangten Art verwandelt wird. (IV 2.)