Über Potenzreihen mit ganzen algebraischen Koeffizienten. (Q572748)

Gegeben seien \(N\) analytische Funktionen \(f_i(z)\). Jedes \(f_i(z)\), \(1\leqq i \leqq N\), sei in einem Kreise \(|z|< R_i\) eindeutig und bis auf endlich viele Singularitäten regulär. In der Umgebung von \(z = 0\) sei \[ f_i(z) = \sum _0^\infty \alpha_n^{(i)}z^n. \] Diese \(N\) Potenzreihen mögen ein System von Reihen bilden, die in bezug auf einen algebraischen Zahlkörper konjugiert sind. Die \(\alpha_n^{(i)}\) seien ganze Zahlen des Körpers. Es sei \[ \prod_1^N R_i= 1. \] Dann ist entweder keine der Funktionen \(f_i(z)\) über \(|z|=R_i\) fortsetzbar, oder alle sind rational. (III 7.)