On entire functions defined by a Dirichlet series. (Q572757)

Sei \(f(s)\) eine ganze Funktion. Dann nennen die Verf. in der komplexen \(s\)-Ebene eine Parallele \(L\) zur reellen Achse eine \(\bar J\)-Linie, wenn die Funktion \(f(s)\) in jedem die Linie \(L\) einschließenden Streifen jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme annimmt. Ähnlich heißt ein vom Nullpunkt ausgehender Strahl \(L\) ein \(J_1\)-Strahl, wenn in jedem den Strahl enthaltenden Sektor die Funktion jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme annimmt. Die Verf. bezeichnen ferner als \(R\)-Ordnung von \(f(s)\) den Ausdruck \[ \limsup_{\sigma\to -\infty}(-\sigma)^{-1}\log_2M(\sigma), \] wobei unter \(M(\sigma)\) die obere Grenze von \(|f(s)|\) für alle \(s\) mit dem reellen Teil \(\sigma\) zu verstehen ist und \[ \log_2A = \left\{ \begin{matrix} \log\log A &\text{für} & A> 1 \\ 0 &,, & A\leqq 1 \end{matrix} \right. \] ist. Mit diesen Begriffsbildungen wird eine Reihe von Sätzen bewiesen von der Art der folgenden beiden: I. Wenn \(f(s)\) eine überall absolut konvergente \textit{Dirichlet}sche Reihe ist: \[ f(s)=\sum a_ne^{-\lambda_ns}, \] wenn dabei \[ \liminf_{n\to \infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)= G > 0, \] wenn schließlich die \(R\)-Ordnung von \(f(s)\) gleich \(\varrho> 0\) ist, so liegt in jedem Horizontalstreifen der Breite Max\(\left(\dfrac {2\pi}G, \dfrac{2\pi}{2\varrho}\right)\) wenigstens eine \(\bar J\)-Linie. II. Unter den gleichen Voraussetzungen ist jeder vom Nullpunkt ausgehende Strahl der linken Halbebene ein \(J_1\)-Strahl.