Sur l'itération des fonctions holomorphes dans un demi-plan. (Q572772)

\textit{J. Wolff} hat gezeigt: Wenn \(f(t)\) eine in der rechten Halbebene von \(z = x + iy\) reguläre, nicht lineare Funktion ist, deren Wertevorrat wieder dieser Halbebene angehört (Verf. nennt eine solche Funktion zur rechten Halbebene gehörig), so konvergiert die Folge der Iterierten \[ f_n(z) = f(f_{n-1}(z)) \quad (f_1(z) = f(z)) \] gegen einen von \(z\) unabhängigen Wert \(\alpha\) im Innern oder auf dem Rande der rechten Halbebene (1926; F. d. M. 52, 309 (JFM 52.0309.*)). Der erste Fall ordnet sich dem klassischen Fall von \textit{Schröder} und \textit{Koenigs} eines anziehenden Fixpunkts unter. Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist, für den zweiten Fall -- ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man \(\alpha = \infty\) setzen -- eine analoge Theorie der Iteration zu gewinnen. Schon früher hatte \textit{J. Wolff} diese Frage in Angriff genommen, ohne indes zu befriedigenden Ergebnissen zu gelangen (1929; JFM 55.0769.*). Zunächst werden die grundlegenden Tatsachen, die außer von \textit{J. Wolff} von \textit{Carathéodory} (1929; JFM 55.0209.*), \textit{Landau} und Verf. (1929; JFM 55.0769.*) herrühren, nochmals im Zusammenhang bewiesen. \(f(z)\) läßt sich schreiben in der Form: \[ f(z) = cs + \varPhi(z) \] mit \[ \mathfrak R(\varPhi(z)) \geqq 0, \quad \dfrac{\varPhi(z)}{z} \to 0 \] für \(z\to\infty\), \(\dfrac{|y|}{x}\leqq k =\) const. Hier gilt für die Winkelderivierte \(c\) von \(f(z)\) bei \(\infty\): \(c\geqq 1\). Im Falle \(c > 1\) ist \(z = \infty\) anziehender Fixpunkt, und die klassische Theorie läßt sich weitgehend übertragen. Man findet, daß das Argument \(\varphi_n(z)\) von \(f_n(z)\) in jedem abgeschlossenen Teilbereich von \(x > 0\) gleichmäßig gegen einen nicht konstanten Grenzwert \(\lambda(z)\) mit \(|\lambda| < \dfrac{\pi}{2}\) strebt. Die \textit{Koenigs}sche Funktion \(K(w)\), für die die \textit{Schröder}sche Funktionalgleichung \[ K(f(z)) = cK(z) \] gilt, findet man als \[ K(z) = \lim \dfrac{f_n(z)}{|f(z_0)|} \quad (z_0 \;\text{beliebig konstant}, x_0 > 0). \] Ein wesentlicher Unterschied zur klassischen Theorie ergibt sich dadurch, daß die Winkelderivierte \(\gamma\) von \(K(z)\) bei \(\infty\) nicht notwendig positiv ist. Verf. leitet Kriterien für das Eintreten des Falles \(\gamma > 0\) oder des Falles \(\gamma = 0\) her. Im ersten Fall existiert nur eine Lösung der Schröderschen Funktionalgleichung, die der rechten Halbebene angehört, und für die \(\gamma > 0\) ist. Für den Fall \(c = 1\) sind die Ergebnisse weniger befriedigend. Unter gewissen Umständen existiert aber eine Funktion \(H(w)\), für die \[ H(f(z)) = H(z) \] ist. Es werden notwendige Bedingungen dafür angegeben.