Les fonctions biharmoniques et la théorie des fonctions analytiques de deux variables complexes. (Q572795)

Verf. versteht unter einer biharmonischen Funktion \(U(u,v,x,y)\) im \((w,z)\)-Raum eine Funktion, die der Realteil einer analytischen Funktion \(f(w, z)\) ist. Eine solche Funktion \(U\) genügt einem System von vier partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Für sie kann man nicht (analog zum Falle des \textit{Dirichlet}schen Problems) die Werte auf dem Rande eines vierdimensionalen Bereichs beliebig vorschreiben. Verf. untersucht die Bedingungen, welchen diese Randwerte genügen müssen. Er kündigt zunächst den Satz an: Notwendig und hinreichend, damit eine Funktion \(U\), die im Körper \(\varGamma\) harmonisch ist, dort sich auch biharmonisch verhält, ist, daß der \textit{Pfaff}sche Differentialausdruck \[ \delta U = \dfrac{\partial U}{\partial u} dv \dfrac{\partial U}{\partial v} du + \dfrac{\partial U}{\partial x} dy \dfrac{\partial U}{\partial y} dx \] auf der Berandung von \(\varGamma\) ein totales Differential ist. Daraus folgt dann: Damit eine auf dem Rande \(\varDelta\) von \(\varGamma\) reell analytische Funktion \(u\) die Spur einer überall in \(\varGamma\) biharmonischen Funktion ist, ist notwendig und hinreichend, daß \(u\) auf \(\varDelta\) einer Integrodifferentialgleichung und zwei Differentialgleichungen dritter Ordnung genügt. \(U\) ist dann eindeutig durch \(u\) bestimmt. Ein wesentlich einfacheres Kriterium wird für Bereiche aufgestellt, die lediglich von analytischen Hyperflächen begrenzt werden. Am Schlüsse der Note werden Eindeutigkeitssätze angekündigt. (IV 13.)