Il problema di Dirichlet per le funzioni biarmoniche. (Q572796)

\[ f(x_1+ ix_2, y_1 + iy_2) = U(x_1, x_2, y_1, y_2) + iV(x_1, x_2, y_1, y_2) \] sei eine analytische Funktion zweier komplexer Veränderlichen \(x_1 + ix_2, y_1 + iy_2\). Die Funktionen \(U, V\) heißen nach \textit{Poincaré} ``biharmonisch''; sie erfüllen die partiellen Differentialgleichungen: \[ \begin{aligned} &\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} = 0, \qquad\qquad\dfrac{\partial^2 u}{\partial y_1^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y_2^2} = 0, \\ &\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1\partial y_1} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2\partial y_2} = 0, \quad\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1\partial y_2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2\partial y_1} = 0. \end{aligned} \] Da das \textit{Dirichlet}sche Problem für biharmonische Funktionen im allgemeinen nicht lösbar ist, so entsteht die Aufgabe, Lösbarkeitsbedingungen anzugeben. Verf. beweist, daß, wenn eine Funktion existiert, die in einer vierdimensionalen Schicht einschließlich des Randes die obigen Gleichungen erfüllt, das \textit{Dirichlet}sche Problem lösbar ist, und zwar auf eine einzige Weise. Die Lösung wird dann für einen Dizylinder wirklich aufgestellt, d. h. für die Punktmenge \[ x_1^2+x_2^2 \leqq r^2, \quad y_1^2 + y_2^2 \leqq r'^2. \] Es folgen einige Betrachtungen über die konformen Abbildungen des \(S_4\). (IV 13.)