Zur Theorie der Legendreschen Polynome. (Q572874)

Man verdankt \textit{L. Fejér} den Satz, daß die Summe der \(n + 1\) ersten \textit{Legendre}schen Polynome \[ P_0 (\cos \gamma ) + P_1 (\cos \gamma ) + P_2 (\cos \gamma )+ \cdots +P_n(\cos \gamma ) \] für jeden Wert von \(n\) in dem Intervall \(0 < \gamma < \pi\) positiv bleibt. Für diese wichtige Tatsache, auf der unter anderm die Summierung der \textit{Laplace}schen Reihe mittels der \textit{Cesàro}schen Mittel zweiter Ordnung beruht, hat \textit{Fejér} mehrere Beweise gegeben (1908, 1909, 1914, 1925; F. d. M. 39, 527 (JFM 39.0527.*); 40, 499-501; 45, 412-413; 51, 219). In der vorliegenden Arbeit beweist Verf. den folgenden Satz, aus dem der oben genannte \textit{Fejér}sche unmittelbar folgt: Sämtliche Abschnitte der Potenzreihe \[ P_0 (\cos \gamma ) + P_1 (\cos \gamma ) z + P_2 (\cos \gamma ) z^2+\cdots + P_n (\cos \gamma ) z^n +\cdots \] haben ihre Wurzeln außerhalb des Einheitskreises, wenn \(0 < \gamma < \pi \) ist. Für \(\gamma = 0\) bzw. \(\gamma = \pi\) liegen diese Wurzeln auf dem Einheitskreise; sie sind dann Einheitswurzeln. Beim Beweise stützt sich Verf. auf die \textit{Mehler}schen Formeln \[ P_n (\cos y) =\dfrac{2}{\pi}\int\limits_\nu^\pi \dfrac{\sin (2n+1)\tfrac{t}{2}}{\sqrt{2(\cos \gamma -\cos t)}}dt= \dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\gamma \dfrac{\cos (2n+1)\tfrac{t}{2}}{\sqrt{2(\cos t -\cos \gamma)}}dt, \] wie dies auch \textit{Fejér} in dem 1908 und 1909 veröffentlichten Beweis für seinen speziellen Satz getan hat. Während aber \textit{Fejér} durch alleinige Benutzung der ersten \textit{Mehler}schen Formel zum Ziele gelangt ist, muß Verf. hier beide Formeln heranziehen.