Eine asymptotische Entwicklung für die größte Nullstelle der Hermiteschen Polynome. (Q572881)

Verf. bringt durch eine lineare Transformation die Differentialgleichung, der \(H_n(y)\exp\biggl(-\dfrac{y^2}{2}\biggr)\) genügt, auf die Gestalt \[ \dfrac{d^2z}{dx^2}-(x+\gamma x^2)z=0 \] und vergleicht nach der \textit{Sturm}schen Methode die Nullstellen von \(z\) mit denen der durch \(\omega '' -x\omega = 0\) definierten Funktion. Ohne Mühe erhält man für die größte Nullstelle \(y_n\) von \(H_n\) die Abschätzung \[ \sqrt{2n+1}+C_1(\sqrt{2n+1})^{-\tfrac13}<y_n<\sqrt{2n+1}+C_2(\sqrt {2n+1})^{-\tfrac13}. \] Ferner gibt Verf. eine asymptotische Entwicklung für diese größte Nullstelle nach Potenzen eines von \(n\) abhängigen Parameters an.