Sur les polynomes relatifs à un segment fini. II. (Q572885)

Verf. setzt die im ersten Teil der Arbeit (1930; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 947-949) begonnenen Untersuchungen fort. Er läßt jetzt auch Funktionen \(t(x)\) der Gestalt \[ t_0(x)(x-b_1)^{\delta _1} \ldots (x-b_n)^{\delta_n} \] zu, die also im Innern des zugrunde gelegten Intervalls verschwinden können. Auch in diesem Falle gelten die asymptotischen Gleichungen für \(L_n(\sqrt{t(x)})\) und \(H_n^{(2)}(\sqrt{t(x)})\) (vgl. F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 948 unten). In den weiteren Betrachtungen wird \[ t(x)=(1-x)^{2\varrho}(1+x)^{2\varrho_1} \] vorausgesetzt. Es handelt sich also um die \textit{Jacobi}schen Polynome. Es zeigt sich, daß der asymptotische Wert von \[ f_n(x)=(1-x)^{\varrho}(1+x)^{\varrho_1}R_n^{(\alpha, \beta)} \quad (\alpha =2\varrho -\tfrac12, \;\;\beta =2\varrho_1-\tfrac12) \] gleich \[ 2^{-n+\varrho +d+\varrho_1-1}\sim L_n[(1- x)^\varrho (1 + x)^{\varrho_1}] \] ist, wenn \(0 \leqq\varrho\leqq \frac12\), \(0\leqq \varrho_1\leqq \frac12\) ist; sonst ist er größer. Übrigens stellt in diesem Fall \(f_n(x)\) die Funktion kleinster Abweichung dar. Einige Abschätzungen für \(f_n(x)\), die Verf. herleitet, können hier nicht wiedergegeben werden. -- Als letzte Polynomklasse wird diejenige behandelt, die zu Gewichten \[ t_0(x)(1-x)^\alpha (1 + x)^\beta \] gehören, wobei wieder in \((- 1, + 1)\;0 < \lambda < t_0 (x) < L\) ist. Wenn wieder \(|\alpha |\leqq \frac12\), \(|\beta|\leqq \frac12\) sich für die entsprechenden Polynome eine gleichmäßig in \((- 1, + 1)\) geltende asymptotische Formel herleiten, wobei allerdings \(t_0(x)\) noch einer Bedingung unterworfen sein muß. Gleichzeitig machen dann diese Polynome asymptotisch \[ |P_n(x)(1 - x)^\varrho(1 + x)^{\varrho_1} \sqrt{t_0(x)}| \] zum Minimum (\(Pn(x)\) ist ein beliebiges Polynom). -- Zum Schluß behandelt Verf. einige Fragen aus der Theorie der Annäherung einer Funktion durch Polynome. (Vgl. auch das Buch des Verf. ``Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle'', 1926; F. d. M. 52, 256 (JFM 52.0256.*).)