On the zeros of exponential sums and integrals. (Q572895)

Zusammenfassender Bericht über Untersuchungen verschiedener Autoren aus etwa den letzten 20 Jahren mit mehr oder weniger ausführlichen Beweisandeutungen. Im ersten Teil wird die Verteilung der Nullstellen von Exponentialsummen der Form \[ \varPhi(z) = \sum_{j=0}^n A_j(z)e^{c_jz} \] unter verschiedenen Annahmen über die Koeffizienten \(A_j\) sowie die konstanten ``Exponenten'' \(c_j\) untersucht. Im einfachsten Falle \(A_j =\) const, \(c_j\) reell liegen die Nullstellen sämtlich in einem Streifen \(|x| < K\), und die Zahl der zwischen zwei Horizontalen \(y = y_1\), \(y = y_2\) gelegenen ist asymptotisch proportional \(y_2-y_1\). Dann wird in allmählicher Verallgemeinerung unter Bevorzugung geometrischer Methoden (\textit{Newton}sches Diagramm, ``Indikator''-Diagramm) schrittweise zum allgemeinsten Fall vorgedrungen: \[ A_j(z) = z^{\nu_j} (a_j + \varepsilon(z)); \quad \nu_j \;\text{beliebig reell}, a_0a_n \neq 0; \] \[ \varepsilon(z)\to 0\;\text{für} \;z\to\infty \;\text{in} \;-\pi < \operatorname{arc}z \leqq \pi. \] Es gilt dann, wie für den Fall von Polynomen als Koeffizienten von \textit{Pólya} (1920; F. d. M. 47, 303 (JFM 47.0303.*)) und \textit{Schwengeler} (1925; F. d. M. 51, 253 (JFM 51.0253.*)) festgestellt worden ist, folgendes: Von endlich vielen abgesehen, verteilen sich die Nullstellen auf gewisse, von logarithmischen Kuryen begrenzte Streifen, deren jeder einer äußeren Normale des kleinsten konvexen, die \(\bar c_j\) enthaltenden Polygons (= Indikatordiagramms) zugeordnet ist und mehr und mehr deren Richtung parallel verläuft. Im zweiten Teil werden Integrale \[ \Psi_{ab}(z) = \int_a^b \psi(t) e^{zt} dt \] (\(t\) reell) betrachtet; sie enthalten, wenn man \(\psi(t)\) als geeignete Treppenfunktion wählt, die vorher behandelten Exponentialpolynome mit reellen \(c\) und konstanten \(A\) -- abgesehen von einem Faktor \(z\) -- als Sonderfall. An einem Beispiel von \textit{Titchmarsh} (1926; F. d. M. 52, 334 (JFM 52.0334.*)) wird gezeigt, daß die Abszissen der Nullstellen nicht beschränkt zu sein brauchen, wie es die genannte Analogie erwarten ließe. Es werden dann weiter Ergebnisse von \textit{Pólya} (M. Z. 2 (1918), 352-383; F. d. M. 46, 510 (JFM 46.0510.*)), \textit{Titchmarsh} (a. a. O.) und \textit{Cartwright} (1930; JFM 56.0973.*) aufgeführt, aus denen sich u. a. ergibt, daß die Analogie bei geeigneten Zusatzannahmen über \(\psi(t)\) sich doch auch auf die Nullstellenverteilung überträgt; z. B. gilt: Ist \[ \psi(t) > 0, \alpha \leqq \dfrac{-\psi'(t)}{\psi(t)} \leqq \beta \qquad (0\leqq t \leqq 1), \] so ist \(\alpha < x < \beta\) für die Nullstellen von \(\Psi_{01}(z)\).