Sur le maximum absolu d'une somme trigonométrique. (Q572896)

Ohne Beweis, nur unter Hinweis auf die üblichen Methoden der Theorie der besten Approximationen, werden die folgenden Sätze mitgeteilt: (1) \ \ Ist \(S_n(\vartheta)\) ein trigonometrisches Polynom, ist \[ |S_n(0)| \leqq 1, |S_n(\alpha)| \leqq 1\;\text{mit} \;0<\alpha<\dfrac{\pi}{n}, \] und weiß man, daß das absolute Maximum \(M\) von \(|S_n(\vartheta)|\) in \(<0, \alpha>\) erreicht wird, so ist \[ M \leqq \bigg(\cos\dfrac{n\alpha}{2}\bigg)^{-1}. \] Für gewisse \(S_n(\vartheta)\) wird die obere Grenze erreicht. (2) \ \ Wenn \(N\) eine natürliche Zahl ist und \(|S_n(\vartheta_k)| \leqq 1\) in \(\dfrac{2Nn}{N-1}\) äquidistanten Punkten \(\vartheta_k\) erfüllt ist, so gilt für alle \(\vartheta\) \[ |S_n(\vartheta)| \leqq \dfrac1N\bigg[\dfrac1{\sin\dfrac1N\dfrac\pi2} + \dfrac1{\sin\dfrac3N\dfrac\pi2}+ \cdots + \dfrac1{\sin\dfrac{2N-1}N\dfrac\pi2}\bigg]. \] Auch hier wird die obere Grenze für gewisse \(S_n(\theta)\) erreicht. Bezüglich des Beweises von (2) wird angedeutet, daß er auf der Konstruktion geeigneter Interpolationspolynome beruht. (IV 3D.)