Einführung in die Theorie der Gammafunktion. (Q572911)

Die vorliegende Schrift bildet einen durchaus elementaren Zugang zur \(\varGamma\)-Funktion und füllt daher fraglos eine Lücke in der deutschen mathematischen Literatur aus. Durch die zugrundegelegte Charakterisierung gewinnt die Theorie in erstaunlichem Maße an Einfachheit und Durchsichtigkeit. Die Darstellung verbleibt ganz im Reellen, was kaum ein Nachteil ist, da die Übertragung ins Komplexe jedem, der sich mit der Funktionentheorie vertraut gemacht hat, ohne weiteres möglich ist. Die erwähnte Charakterisierung der \(\varGamma\)-Funktion geschieht (nach \textit{Bohr} und \textit{Mollerup}, Lærbog i matematisk Analyse (Kopenhagen, 1922; F. d. M. 48, 255 (JFM 48.0255.*)), S. 149-164) durch die drei Forderungen: (1)\ \(\varGamma(x + 1) = x\varGamma(x)\); (2)\ \(\varGamma(x)\) soll logarithmisch konvex sein (d.h. log\(\varGamma(x)\) soll konvex sein); (3)\ \(\varGamma(1)=1\). In einer Einleitung wird gezeigt, daß die Summe zweier logarithmisch konvexer Funktionen wieder logarithmisch konvex ist; daraus folgt leicht, daß das zweite \textit{Euler}sche Integral die drei Forderungen erfüllt, und es zeigt sich, daß es nur eine solche Funktion geben kann, nämlich den Grenzwert des \textit{Gauß}schen Produkts, dessen Konvergenz hierbei aus der durch das \textit{Euler}sche Integral erwiesenen Erfüllbarkeit der Forderungen (l)-(3) folgt, und das von diesen aus fast unmittelbar angeschrieben werden kann. Es folgen die \textit{Weierstraß}sche Produktdarstellung, die unbeschränkte Differenzierbarkeit, der allgemeine Verlauf der Kurve im Reellen, die Werte an den halbzahligen Stellen (mit Hilfe des ersten \textit{Euler}schen Integrals). Die weiteren Abschnitte bringen die \textit{Stirling}sche Formel, die \textit{Gauß}sche Multiplikationsformel, den Zusammenhang mit dem Sinus (wobei wesentlich die \textit{Legendre}sche Relation als Ausgangspunkt dient, während sich die Produktdarstellung des Sinus als Nebenresultat ergibt); ferner einige Anwendungen auf bestimmte Integrale, die sich mittels der \(\varGamma\)-Funktion ausdrücken lassen. Im letzten Abschnitt wird die Frage erörtert, welche Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften an eine Funktion gestellt werden müssen, die (1) und eine der Gleichungen des Multiplikationstheorems bzw. ihre Gesamtheit erfüllt, wenn sie mit der \(\varGamma\)-Funktion identisch sein soll.