Konvergenzprobleme in der Theorie der Gammafunktion. (Q572914)

Es wird für die Funktion \[ \varphi(x, \alpha) = x^{\alpha-1}e^x\int\limits_x^\infty e^{-u}u^{-\alpha} du = \int\limits_0^\infty e^{-xt}(1+t)^{-\alpha} dt \quad (\mathfrak R(x) > 0) \] die für alle \(\alpha\) absolut konvergente Reihenentwicklung \[ \varphi(x,\alpha) = \sum_{\nu=0}^\infty \dfrac{(-1)^\nu}{\nu!}\binom{\alpha-1}{\nu}\varPhi_\nu(x) \] bewiesen, wobei \[ \begin{aligned} &\varPhi_0(x) = \varphi(x,1), \;\varPhi_1(x) = (x+1)\varPhi_0(x)-1,\\ &\varPhi_{\nu+1}(x) = (x+2\nu+1)\varPhi_\nu(x) - \nu^2\varPhi_{\nu-1}(x)\quad (\nu \geqq 1) \end{aligned} \] ist, und auf Fragen aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung und der Gammafunktion angewendet.