On the application of continued fractions to the evaluation of certain integrals, with special reference to the incomplete Betafunction. (Q572921)

Verf. betrachtet zunächst das uneigentliche Integral \[ I_n(x)=\int\limits_x^\infty t^{-n}e^{-t^2}dt; \] es gilt die Rekursionsformel \[ I_n(x)=\dfrac12\dfrac{e^{-x^2}}{x^{n+1}}-\dfrac12(n+1)I_{n+2}(x). \] Die Funktion \(I_0(x)\) hat bekanntlich \textit{Laplace} in seinen Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitsrechnung untersucht; er hat, für \(q = \dfrac{1}{2x^2}\), die Reihe \[ I_0(x)=\dfrac{e^{-\tfrac{1}{2q}}}{\sqrt{\frac{1}{2q}}} (1-q+1\cdot 3\cdot q^2-1\cdot 3\cdot 5\cdot q^3+\cdots) \] angegeben, die zwar für \(q\neq 0\) nicht konvergiert, durch Summierung von Anfangsgliedern aber doch bei kleinen \(q\) eine für rechnerische Zwecke gute Annäherung an \(I_0(x) \) liefert. Verf. gibt nun formale Kettenbruchentwicklungen für \[ S=\sqrt{\dfrac{1}{2q}}\exp\biggl(\dfrac{1}{2q}\biggr)I_0(x), \] die für numerische Rechnungen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung geeignet sind, aber ohne die Konvergenz zu untersuchen. Ebenso verfährt er bei der unvollständigen \(\varGamma\)-Funktion \[ \varGamma _x(n)=\int\limits _0^x e^{-t}t^ndt\quad (x>0) \] und bei der unvollständigen \(B\)-Funktion: \[ B_x(u, v)=\int\limits_x^\infty t^{u-1}(1-t)^{v-1}dt, \] sowie bei der Funktion \[ I_x(u,v)=\dfrac{B_x(u, v)}{B (u, v)}= \dfrac{\varGamma(u+v)}{\varGamma (u)\varGamma(v)}B_x(u,v) \] (vgl. dazu auch \textit{J. Wishart}, 1927; F. d. M. 53, 528 (JFM 53.0528.*)). (IV 17.)