Some series and integrals involving associated Legendre functions. I, II. (Q572959)

Im Anschluß an eigene frühere Arbeiten (vgl. insbesondere die in F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 315-316 besprochenen Arbeiten aus Proceedings L. M. S. (2) 30 (1930), 422-424; 31 (1930), 200-208) beweist Verf. in der ersten hier vorliegenden Note die folgenden Formeln für \textit{Legendre}sche Funktionen: \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle P_n\{\cos\,(z-t)\}\;P_n^{-m}\,(\cos\,t) \frac{dt}{\sin t}= \frac{P_n^{-m}(\cos\,z)}{m}, \hfill} \] wenn \(\mathfrak R(m)>0\); \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined}\qquad\!(2)\quad \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle \sin^mt\;P_{n-m-1}\{\cos\,(z-t)\}\;P_n^{-m}\,(\cos\,t)\,dt\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\varGamma (m+\tfrac{1}{2})}{\varGamma (m+1)} \sin^{m+\frac{1}{2}}z P_{n-\frac{1}{2}}^{-m-\frac{1}{2}}(\cos z), \end{multlined} \] wenn \(\mathfrak R(m)>-\frac{1}{2}\); \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined}\qquad\!(3)\quad \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle \sin^{m+1}t\,P_{n-m-2}\,\{\cos\,(z-t)\}\; P_n^{-m}(\cos\,t)\,dt\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\varGamma (m+\frac{3}{2})}{\varGamma (m+2)} \sin^{m+\frac{3}{2}}z\,P_{n-\frac{1}{2}}^{-m-\frac{1}{2}}\,(\cos\,z), \end{multlined} \] wenn \(\mathfrak R(m)>-1\). In allen drei Formeln ist \(n\) unbeschränkt. Ersetzt man \(z\) und \(t\) durch \(\dfrac{z}{n}\) und \(\dfrac{t}{n}\), so erhält man für \(n\to \infty \) Spezialfälle bekannter Ergebnisse über \textit{Bessel}sche Funktionen. In der zweiten Note werden (1), (2) und (3) verallgemeinert. Die Verallgemeinerung von (1) lautet: \[ \begin{gathered} \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle \sin^{-1-k}t\,\sin^k(z-t)\,P_n^{-m}(\cos\,t)\,P_n^{-k}\{\cos \,(z-t)\}\,dt \tag{"}\qquad\!(4)"\\ =2^k\frac{\varGamma (m-k)\varGamma (k+\frac{1}{2})} {\varGamma (\frac{1}{2})\varGamma (k+m+1)}\sin^kz\,P_n^{-m}(\cos\,z), \end{gathered} \] wenn \(\mathfrak R(m)>\mathfrak R(k)>-\frac{1}{2}\). Für \(k=0\) reduziert (4) sich auf (1). Durch den eben beschriebenen Grenzübergang ergibt sich aus (4) die folgende Formel für \textit{Bessel}sche Funktionen, die Verf. bereits in der zweiten oben genannten Arbeit hergeleitet hat: \[ \begin{gathered} \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle t^{-1-k}(z-t)^k J_m(t)J_k(z-t)\,dt= \tag{"}\qquad\!(5)"\\ 2^k\frac{\varGamma (m-k)\varGamma (k+\frac{1}{2})} {\varGamma (\frac{1}{2})\varGamma (k+m+1)}z^k J_m(z). \end{gathered} \] Als Verallgemeinerungen von (2) und (3) erhält Verf. folgende Relationen, die selbst wieder Spezialfälle einer noch allgemeineren Formel sind: \[ \begin{gathered} \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle \sin^m t\,\sin^k(z-t)\,P_n^{-m}(\cos\,t)\, P_{n-k-m-1}^{-k}\bigl\{\cos\,(z-t)\bigr\}\,dt \tag{"}\qquad\!(6)"\\ \;\;=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\varGamma (k+\frac{1}{2})\varGamma (m+\frac{1}{2})}{\varGamma (\frac{1}{2})\varGamma (k+m+1)} \sin^{m+k+\frac{1}{2}}z\,P_{n-k-\frac{1}{2}}^{-(m+k+\frac{1}{2})}\, (\cos\,z),\end{gathered} \] wenn \(\mathfrak R(m)>-\frac{1}{2}\), \(\mathfrak R(k)>\frac{1}{2}\); \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined} \qquad\!(7)\quad\textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle \sin^{(m+1)}t\,\sin^k(z-t)\,P_n^{-m}(\cos\,t)\, P_{n-m-k-2}^{-k}\bigl\{\cos\,(z-t)\bigr\}\,dt\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\varGamma (k+\frac{1}{2})\varGamma (m+\frac{3}{2})}{\varGamma (\frac{1}{2})\varGamma (k+m+2)} \sin^{m+k+\frac{3}{2}}z\,P_{n-k-\frac{1}{2}}^{-(m+k+\frac{1}{2})}\, (\cos\,z), \end{multlined} \] wenn \(\mathfrak R(m)>-1\), \(\mathfrak R(k)>-\frac{1}{2}\). Für \(k=0\) geht (6) in (2), (7) in (3) über. Die Analoga von (6) und (7) für \textit{Bessel}sche Funktionen lauten: \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined} \qquad\!(8)\quad \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle t^m(z-t)^k J_m(t) J_k(z-t)\,dt\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\varGamma (k+\frac{1}{2}) \varGamma (m+\frac{1}{2})} {\varGamma (\frac{1}{2})\varGamma (k+m+1)} z^{m+k+\frac{1}{2}} J_{m+k+\frac{1}{2}}(z), \end{multlined} \] \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined} \qquad\!(9)\quad \textstyle \int\limits_{0}^{z} \displaystyle t^{m+1}(z-t)^k J_m(t) J_k(z-t)\,dt\\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\varGamma (k+\frac{1}{2}) \varGamma (m+\frac{3}{2})} {\varGamma (\frac{1}{2})\varGamma (k+m+2)} z^{m+k+\frac{3}{2}} J_{m+k+\frac{1}{2}}(z). \end{multlined} \]