Darstellung eines Potentials in zylindrischen Koordinaten, das sich auf einer Ebene innerhalb und außerhalb einer gewissen Kreisbegrenzung verschiedener Grenzbedingung unterwirft. (Q572962)

Verf. zeigt zunächst, daß das Integral \[ w(\lambda,\mu,\nu,\varrho )= \int\limits_{0}^{\infty }\frac{I_\mu (\varrho \xi )\,I_\nu (\xi )} {\xi ^\lambda }\,d\xi, \] dessen Zusammenhang mit der hypergeometrischen Reihe schon von \textit{Nielsen} (Handbuch der Theorie der Zylinderfunktionen (1904; F. d. M. 35, 476 (JFM 35.0476.*)-477), S. 113) dargetan worden ist, sich als ein Produkt aus einer Potenz von \(\varrho \) und einem hypergeometrischen Polynom für passende Werte von \(\lambda \), \(\mu \), \(\nu \) darstellen läßt. Diese Polynome kann er dazu verwenden, um Lösungen für die Differentialgleichung \[ \frac{\partial ^2\varPhi }{\partial r^2}+ \frac{1}{r}\frac{\partial \varPhi }{\partial r}+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2\varPhi }{\partial \varphi ^2}+ \frac{\partial ^2\varPhi }{\partial z^2}=0\quad (0\leqq r, 0\leqq z, 0\leqq \varphi \leqq 2\pi ) \] mit den gemischten Randbedingungen \[ \begin{alignedat}{5} &\varPhi=f\biggl(\frac{r}{a},\varphi \biggr), &&\;r<a,\;&&z=0 \;\; &&\text{bzw.}\; &&\,\varPhi =0, r>a,\;z=0,\\ &\frac{\partial \varPhi }{\partial z}=0, &&\;r>a,\;&&z=0 \;&&\;\;,, &&\frac{\partial \varPhi }{\partial z}=-f\biggl(\frac{r}{a}, \varphi \biggr),\;r<a,\;z=0,\end{alignedat} \] \centerline{\(\varPhi =0\) im Unendlichen} zu bestimmen. Im ersten Fall erhält er z. B. \[ \varPhi =\textstyle \sum\limits_{m=0}^{\infty } \displaystyle \textstyle \sum\limits_{n=0}^{\infty } \displaystyle \bigl(A_{m,n} \cos\;(m\varphi )+ A_{m,n}^\prime \sin\,(m\varphi )\bigr) \int\limits_{0}^{\infty }\frac{I_m(\varrho \xi )\,I_{m+2n+\frac{1}{2}}(\xi )}{\sqrt{\xi }}e^{-\tfrac{z}{a}\xi }\,d\xi, \] wo \[ \biggl.\begin{matrix} A_{m,n}\\A_{m,n}^\prime\end{matrix}\biggr\}= \frac{\sqrt{2}(m+2n+\frac{1}{2})}{\pi \varGamma (n+\frac{1}{2})} \int\limits_{0}^{2\pi }\begin{matrix} \cos\\ \sin\end{matrix} (m\varphi )\,d\varphi \int\limits_{0}^{1} x^{-\frac{m}{2}}f(\sqrt{x},\varphi )\frac{d^n}{dx^n} (x^{m+n}(1-x)^{n-\frac{1}{2}})\,dx \] für \(m\not=0\) und\newline \(A_{0,n}\;=\frac{4n+1}{\sqrt{2\pi }(2n+1)} \int\limits_{0}^{2\pi }d\varphi \int\limits_{0}^{1} f(\sqrt{x}, \varphi )\frac{d^n}{dx^n}\bigl(x^n(1-x)^{n-\frac{1}{2}} \bigr)\,dx,\)\newline \(A_{0,n}^\prime\;=0;\)\newline analoge Formeln ergeben sich im zweiten Fall. Auch auf die ebenen Probleme \[ \frac{\partial ^2\varPhi }{\partial x^2}+ \frac{\partial ^2\varPhi }{\partial y^2}=0,\quad0\leqq y, \] \[ \begin{alignedat}{5} \varPhi =f\biggl(\frac{x}{a}\biggr)\,&,\;\; &&|\,x\,|\leqq a,\;&&y=0\;\;&&\text{bzw.}\;&&\;\varPhi =0,\;a<|\,x\,|,\;y=0,\\ \frac{\partial \varPhi }{\partial y}=0&, &&a<|\,x\,|,\;&&y=0\;&&\;\;,, &&\frac{\partial \varPhi }{\partial y}=-f\biggl(\frac{x}{a}\biggr), \;|\,x\,|<a,\;y=0 \end{alignedat} \] macht Verf. Anwendung. (IV13.)