On Mathieu functions. (Q572969)

Nach \textit{E. T. Whittaker} (1929; F. d. M. \(55_{\text{II}}\), 804-805) läßt sich die Ableitung der \(n\)-ten \textit{Mathieu}schen Funktion \(\text{ce}_n(ix)\) linear und homogen durch zwei Funktionen gleicher Art mit aufeinanderfolgenden Indices ausdrücken, mit Koeffizienten, die in bekannter, wenn auch recht verwickelter Weise von \(x\) abhängen. Dieses Ergebnis läßt sich natürlich nun leicht zur Auswertung unbestimmter Integrale verwenden, die \textit{Mathieu}sche Funktionen enthalten: So wählt Verf. z. B. \(f(x)\), \(A(x)\), \(B(x)\) so, daß \[ f(x)\,\text{ce}_n(ix)=\frac{d}{dx} \bigl(A(x)\,\text{ce}_n(ix)+B(x)\,\text{ce}_{n+1}(ix)\bigr), \] indem er nach Ausführung der Differentiation die genannten Rekursionsformeln einträgt und die Koeffizienten von \(\text{ce}_n(ix)\) und \(\text{ce}_{n+1}(ix)\) rechts und links gleichsetzt. In ähnlicher Weise kann bei geeigneter Wahl von \(f(x)\), \(\varPhi (z)\), \(\varPsi (x)\) das Integral \[ \textstyle \int\displaystyle f(x)\,\text{ce}_m\bigl(i\varPhi (x)\bigr)\, \text{ce}_n\,\bigl(i\varPsi (x)\bigr)\,dx \] ausgeführt werden.