Zur Begründung des Restsatzes mit dem Noetherschen Fundamentalsatz. (Q572980)

Verf. füllt eine Lücke aus, die sich bei der üblichen Begründung des Restsatzes mittels des \textit{``Noether}schen Fundamentalsatzes'' \[ F=\varphi '\psi =Pf+R\varphi \] findet und die darin besteht, daß man den einfachsten Fall voraussetzt, in welchem die beiden Kurven \(f = 0\) und \(\varphi = 0\) in jedem Schnittpunkte getrennte Tangenten besitzen. Unter der Voraussetzung, daß die Grundkurve \(f = 0\) keine andern projektiven Singularitäten als \(s\)-fache Punkte mit getrennten Tangenten besitzt, wird ein vollständiger Beweis des Restsatzes gegeben durch den Beweis des Satzes: Wenn der Punkt (0,0) für die Kurve \(f = 0\) \(s\)-fach ist und jeder Zweig \(Z_i\) durch ihn von der Kurve \(\varphi =0\) in (0,0) \(\mu _i\)-fach, von der Kurve \(F=0\) aber mindestens \((s-1+\mu_i)\)-fach geschnitten wird, so ist \[ F=Pf+R\varphi \] im Bereiche der Potenzreihen nach \(x\) und \(y\). Dies wird zuerst für \(s = 1\) bewiesen und dann Induktion nach \(s\) angewendet. (III 7, V 5 C.)