On the trigonometric expansion of elliptic functions. (Q572993)

Alle nach \textit{Hermite} doppeltperiodischen Funktionen dritter Art können aus einer meromorphen Funktion \(F(z)\) hergeleitet werden, die den beiden Funktionalgleichungen genügt: \[ \begin{alignedat}{2} &F(z+\pi )&&=F(z),\\ &F(z+\pi \tau )&&=e^{-2miz}F(z)\quad(m\not=0),\end{alignedat} \] wo \(\tau \) eine komplexe Zahl mit nicht verschwindendem Imaginärteil und \(m\) eine ganze rationale Zahl ist. Hat \(F(z)\) nur einfache Pole mit gegebenen Residuen im Fundamentalperiodenparallelogramm, so kann \(F(z)\) mit Hilfe des \textit{Cauchy}schen Satzes in der Form dargestellt werden: \[ \begin{gathered} F(z)=\textstyle \sum\limits_{k=1}^{p} \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty } \displaystyle R_k e^{2\mu nia_k}\,q^{\mu n(n-1)}\,\text{ctg}\;(z-a_k-n\pi \tau ),\\ q=e^{\pi i\tau },\quad\mathfrak I(\tau )>0,\quad m=-\mu <0,\end{gathered} \] wo \(a_k\) die Pole sind und \(R_k\) das Residuum in \(a_k\) ist. Ähnliche Entwicklungen gelten, falls mehrfache Pole vorliegen.