Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli. (Q573017)

Die Frage, ob die \(V_3^3\) im \(R_4\) rational ist, ist bislang nicht beantwortet worden; dagegen sind die allgemeine \(V_3^4\) des \(R_4\) und die \(V_3^6\) des \(R_5\), die als Schnitt einer \(V_4^2\) und einer \(V_4^3\) entsteht, nicht rational; letztere ist bekanntlich das Bild einer von \textit{Enriques} gefundenen Involution der Ordnung 216 des \(R_3\), die also irrational ist. Verf. untersucht nun allgemeiner die \(V_3^{2p-2}\) eines \(R_{p+1}\) deren Hyperebenenschnittflächen ein reguläres System mit allen Geschlechtszahlen \(= 1\) bilden, deren Schnittkurven kanonische Kurven des Geschlechts \(p\) sind; solche \(V_3^{2p-2}\) existieren für verschiedene Werte von \(p\). Für \(p=5\) entsteht eine \(V_3^8\) des \(R_6\), die das Bild einer Involution \(I_4\) des \(R_3\) darstellt; für \(p = 6\) stellt die \(V_3^{10}\) eine \(I_6\) des \(R_3\), für \(p = 7\) eine \(I_2\) des \(R_3\) dar. Die für \(p +1\) entstehende Mannigfaltigkeit geht aus der für \(p\) durch Spezialisierung hervor, und viele geometrische Eigenschaften deuten darauf hin, daß sich mit zunehmendem \(p\) diese \(V_3^{2p-2}\) der Rationalität nähern; die Geschlechter und Mehrgeschlechter sind alle Null. Verf. bezeichnet sie als semirational. Es gibt \(V_3\) mit der letzteren Eigenschaft, auf denen lineare reguläre Flächensysteme mit allen Geschlechtern \(= 1\) existieren, deren Dimension aber höher ist als bei den obigen \(V_3^{2p-2}\); die maximale Dimension \(\varLambda \geqq p+2\) ist dann für sie eine absolute Invariante, die vielleicht für die Klassifikation von Bedeutung ist. Ein andrer Typ von \(V_3\), für den alle Geschlechter und Mehrgeschlechter verschwinden, wird von den \(V_3^n\) des \(R_4\) mit \((n - 2)\)-facher Geraden gegeben; Verf. nennt sie pseudorational und untersucht ihre nächstliegenden Eigenschaften. (IV 6 C, V 5 E.)