Über automorphe Funktionen der Picardschen Gruppe. I. (Q573025)

In der vorliegenden Arbeit, die an eine frühere Arbeit des Verf. (1926; F. d. M. 52, 381 (JFM 52.0381.*)-382) anknüpft, wird zunächst die Bildung der Funktionen \(F_k(z)\) etwas verallgemeinert, indem an Stelle des Zählers \(f_k(z)\) eine ähnlich gestaltete Reihe eingesetzt wird, die in den zu einem vorgegebenen Punkt \(\zeta \) nach \(\mathfrak G'\) ähnlichen Punkten ``Pole'' besitzt. Indem die im zitierten Referat erwähnte Transformation rückgängig gemacht wird, ergeben sich Funktionen \(H_k(z)\) der \textit{Picard}schen Gruppe, und diese besitzen, wie weiter gezeigt wird, analog zu den gewöhnlichen Modulfunktionen einige Symmetrieeigenschaften. Dann wird an der Reihendarstellung für Zähler und Nenner von \(H_k(z)\) bewiesen, daß die drei Komponenten von \(H_k(z)\) überall mit Ausnahme der ``Pole'' des Zählers stetig nach den drei Komponenten der reduzierten Quaternionenvariablen \(z\) differenzierbar sind. Die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von \(H_k(z)\) bei Annäherung an die Zahlen des \textit{Gauß}schen Zahlkörpers läßt sich auf die des Verhaltens bei Annäherung an den unendlich fernen Punkt im Diskontinuitätsbereich \(\mathfrak D\) der \textit{Picard}schen Gruppe zurückführen. Letztere gelingt nach arithmetischen Vorbereitungen durch Heranziehung einiger aus der analytischen Zahlentheorie wohlbekannten Umformungen auf Grund der genauen Kenntnis des asymptotischen Verhaltens der \textit{Bessel}schen Funktionen dritter Art. Es ergibt sich, daß \(H_k(z)\) für \(z\) in \(\mathfrak D\), wenn \(x_2\) gegen \(\infty \) geht, einem von \(x_0\) und \(x_1\) unabhängigen Limes \(A_k\) zustrebt; hier ist die \((x_0, x_1)\)-Ebene Grenzebene der \textit{Picard}schen Gruppe. Die Funktion \[ (H_k(z)-A_k)^{-1} \] steht danach in einer gewissen Analogie zur absoluten Invariante der elliptischen Modulfunktionen, weil sie selbst unendlich wird, wenn \(z\) in \(\mathfrak D\) gegen unendlich geht, und weil sie in \(\mathfrak D\) genau eine Nullstelle besitzt, nämlich das in \(\mathfrak D\) liegende Bild von \(\zeta \).