Theorie der halbfiniten unendlichen Matrizen. (Q573031)

Für die zeilenfiniten unendlichen Matrizen, d. h. diejenigen, bei denen jede Zeile nur eine endliche Anzahl von Null verschiedener Elemente besitzt, läßt sich ein dem Rechnen mit endlichen Matrizen entsprechender Kalkül definieren; hierbei scheiden wegen der bei der Produktbildung auftretenden Summen mit nur endlich vielen Summanden alle Konvergenzbetrachtungen aus, so daß die zeilenfiniten Matrizen, wie die Verf. sagen, einen ``konvergenzfreien'' Ring bilden. Den zeilenfiniten und den zu ihnen transponierten spaltenfiniten Matrizen, den einzigen bisher betrachteten konvergenzfreien Systemen, werden in der vorliegenden Arbeit als neuer konvergenzfreier Ring die halbfiniten Systeme hinzugefügt. Eine Matrix \(\mathfrak A\) heißt dabei halbfinit, wenn sie sich in vier Matrizen des Schemas \[ \frac{{}^\ast\mathfrak A|\mathfrak A^\ast} {{}_\ast\mathfrak A|\mathfrak A_\ast} \] spalten läßt, so daß die links oben stehende Teilmatrix \({}^\ast\mathfrak A\) spaltenfinit, die links unten stehende \({}_\ast\mathfrak A\) beliebig, die rechts unten stehende \(\mathfrak A_\ast\) zeilenfinit und die rechts oben stehende \(\mathfrak A^\ast\) endlich (d. h. nur eine endliche Anzahl von Null verschiedener Elemente besitzend) ist. Verf. behandeln die Äquivalenz und die kanonischen Normalformen halbfiniter Matrizen; für Gleichungen mit halbfiniter Koeffizientenmatrix gilt nicht mehr, wie dies noch für Gleichungen mit zeilen- und spaltenfiniter Matrix zutrifft, die aus der endlichen Algebra bekannte Alternative von der Lösbarkeit der homogenen und der der inhomogenen Gleichungen. Die halbfiniten Systeme lassen sich nicht allein mittels Lösungen homogener Gleichungen behandeln, sondern erfordern Ergänzungen, die wegen ihres übersichtlichen und nicht zu komplizierten Charakters auch für schwierigere Fälle lehrreich sein werden. Am Schluß des Aufsatzes werden noch weitere konvergenzfreie Systeme skizziert.