Zur Abelschen Integralgleichung. (Q573034)

In Verallgemeinerung der bekannten \textit{Abel}schen Integralgleichung \[ \int\limits_{0}^{x} \frac{\varphi (s)}{(x-s)^\alpha }\,ds= f(x)\quad(0<\alpha <1) \] untersucht Verf. die Gleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \textstyle \int\limits_{0}^{x} \displaystyle (x-s)^\beta \varphi (s)\,ds=f(x)\quad(\beta >-1). \hfill} \] Wenn man sich auf Lösungen beschränkt, für die \(\displaystyle\lim_{s\to+0}s\varphi (s)=G\) vorhanden ist und \(f(x)\) genügend oft differenzierbar vorausgesetzt wird, so läßt sich mit elementaren Mitteln zeigen, daß jede Lösung von (1) der \textit{Abel}schen Gleichung \[ \begin{gathered} \int\limits_{0}^{x}\frac{\varphi (s)\,ds}{(x-s)^\alpha }= \frac{A}{x^\alpha }+Bf^{(\nu )}(x) \tag{"}\qquad\!(2)"\\ \text{mit} A=\biggl(\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\beta -1}+ \dots +\frac{1}{\beta -\nu +1}\biggr)G,\;\;B=\frac{1}{\beta (\beta -1)\dots (\beta -\nu +1)} \end{gathered} \] genügt, wenn die Zahlen \(\alpha \) und \(\nu \) durch \(0<\nu -\beta =\alpha <1\) festgelegt sind. Die Lösung von (2) wird durch die \textit{Goursat}sche Formel geliefert; doch hat man beim Übergang zu (1) noch eine Integrationskonstante zu berücksichtigen. Insbesondere im Fall \(\nu = 1\), d. h. \(\alpha =1-\beta \), und \(f(+0)=0\) findet man für die Lösung von (1): \[ \varphi (s)=\frac{\sin\,\alpha \pi }{(1-\alpha )\,\pi } \biggl(\frac{f'(+0)}{s^{1-\alpha }}+\frac{f''(+0)}{\alpha }s^\alpha + \frac{1}{\alpha }\int\limits_{0}^{s} (s-z)^\alpha f'''(z)\,dz\biggr). \] Für \(f(x)=\textstyle \sum\limits_{\lambda }C_\lambda x^\lambda \), wobei \(\lambda \) und \(C_\lambda \) irgend welche Zahlenfolgen sind und die Reihe gliedweise integriert werden kann, ist \[ \varphi (s)=\frac{1}{\varPi(\beta )}\textstyle\sum\displaystyle C_\lambda \frac{\varPi (\lambda )}{\varPi (\lambda -\beta -1)} s^{\lambda -\beta -1}. \] Dabei sind nur solche Glieder zu nehmen, bei denen \(\lambda -\beta -1\) keine negative ganze Zahl ist; die Reihen müssen konvergieren. Die Ergebnisse werden auf die Frage des Ausflusses von Wasser aus einer durch eine gesuchte Kurve \(x=\varphi (y)\) begrenzte Schützenöffnung angewendet. Dies führt auf die Integralgleichung \[ \textstyle \int\limits_{0}^{h} \displaystyle \sqrt{h-y}\varphi (y)\,dy=Q(h)\,. \] Diese Frage, sowie eine ähnliche, durch die Forderungen der Praxis modifizierte, kann durch vorstehende Ergebnisse beantwortet werden. (VI 4 B.)