Mémoire sur les équations de M. V. Volterra. (Q573035)

Untersucht wird die \textit{Volterra}sche Integralgleichung \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \varphi (x)=\textstyle \int\limits_{0}^{x} \displaystyle K(x,s)\,\varphi (s)\,ds+f(x) \hfill} \] im Komplexen. Ein Theorem (I) ergibt nach der Majorantenmethode die Entwickelbarkeit von \(\varphi (x)\) in eine für \(|\,x\,|\leqq r\) konvergente Potenzreihe, falls die gleichen Entwicklungseigenschaften von \(K(x, s)\) und \(f(x)\) vorausgesetzt werden. Durch analytische Fortsetzung läßt sich \(\varphi (x)\) über \(x= a\) hinaus weiterverfolgen, solange \(K(x, s)\), \(f(x)\) und \(\int\limits_{0}^{a}K(x,s)\,\varphi (s)\,ds\) (als Funktion von \(x\)) keine singulären Punkte aufweisen. Ein Pol der Ordnung \(m\) von \(f(x)\) führt zu einem Pol der gleichen Ordnung bei \(\varphi (x)\), gleichzeitig aber zu einem logarithmischen Verzweigungspunkt. Da Gleichung (1) sich in der Form \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(2)} \hfill\quad \varphi (x)=\textstyle \int\limits_{a}^{x} \displaystyle K(x,s)\,\varphi (s)\,ds+F(x)\;\;\text{mit}\;\;F(x)=f(x)+\textstyle \int\limits_{0}^{a} \displaystyle K(x,s)\,\varphi (s)\,ds \hfill} \] schreiben läßt und \(F(x)\) bei stetigem \(f(x)\) für eine Nullstelle \(a\not=0\) von \[ K(x,0)\equiv\frac{\zeta (x,0)}{\eta(x,0)}=0 \] (\(\zeta (x,s)\) und \(\eta(x, s)\) sind hier als ganze Funktionen vorausgesetzt) sich als von der Form \(S(x)+T(x)\,\log\,(x-a)\) ergibt mit eindeutigen, aber für \(x = a\) Pole aufweisenden Funktionen \(S(x)\) und \(T(x)\), wird die Integralgleichung (1) mit einer derartigen Funktion \(f(x)\), aber jetzt wieder analytischem \(K(x, s)\) untersucht, und es wird gefunden, daß die Lösung von der Form \[ \varphi (x)=A_0(x)+A_1(x)\,\log\,(x-a)+ A_2(x)\,\log^2\,(x-a) \] wird mit analytischem \(A_2(x)\) und eindeutigem \(A_0(x)\) und \(A_1(x)\). Die Gültigkeit dieses Satzes wird auch noch für das ursprüngliche \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(*)} \hfill K(x,s) = \frac{\zeta (x,s)}{\eta(x,s)} \hfill} \] behauptet, aber, soweit Referent sieht, nicht nachgewiesen. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich allgemeiner mit Kernen der oben angegebenen Form und stellt für einzelne Typen solcher Kerne Sätze über den Charakter der Lösung \(\varphi (x)\) von (1) auf. So z. B. den folgenden: Die Gleichung \[ (x-a)^m\varphi (x)= \textstyle \int\limits_{0}^{x} \displaystyle K(x,s)\,\varphi (s)\,ds+f(x) \] mit stetigem \(K(x, s)\) hat (unter einer gewissen Einschränkung) eine Lösung der Form \[ \varphi (x)=A^{(0)}(x)+A^{(1)}(x)\,\log\,(x-a)+ \textstyle \sum\limits_{i=1}^{m} \displaystyle (x-a)^{\varrho_i}U_i(x-a), \] wo \(A^{(1)}(x)\) in der Umgebung von \(x=a\) analytisch ist und die übrigen auftretenden Funktionen eindeutig sind; die Exponenten \(\varrho _i\) sind die Wurzeln einer gewissen Gleichung D(\(\varrho )=0\). -- Sätze über die Form der Lösung \(\varphi (x)\) von (1) werden noch aufgestellt für andere Typen von Kernen der Form (*) in der Umgebung einer Nullstelle von \(\eta(x, x)=0\). Die benötigten Voraussetzungen werden oft nicht mit voller Schärfe präzisiert; die Frage der Eindeutigkeit bereitet meist Schwierigkeiten.