Détermination d'une fonction de fonctions par le moyen d'une équation intégrale. (Q573037)

Beweisskizze für den Satz, daß die Integralgleichung zweiter Art vom \textit{Volterra}schen Typus \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined} P(t)=\sigma (t)+\lambda \biggl[\textstyle \int\limits_{0}^{\mu '(t)} du \int\limits_{0}^{\nu '(t)} \displaystyle P\,\{F'(u,v)\}\,dv+ \textstyle \int\limits_{0}^{\mu ''(t)}du \int\limits_{0}^{\nu ''(t)} \displaystyle P\,\{F''(u,v)\}\,dv\\ +\textstyle \int\limits_{0}^{\mu '''(t)}du \textstyle \int\limits_{0}^{\nu '''(t)} \displaystyle P\,\{F'''(u,v)\}\,dv\biggr],\end{multlined} \] wobei \(P(t)\) die gesuchte Funktion ist, und die in den oberen Grenzen der Integrale auftretenden Funktionen an der Stelle \(t = 0\) verschwinden, für genügend kleine \(\lambda \) durch die \textit{Neumann}sche Reihe \[ P(t)=P_0(t)+\lambda P_1(t)+\cdots \] gelöst wird. Die \(P_n(t)\) ergeben sich dabei durch Rekursion.