Note on Volterra and Fredholm products of symmetric kernels. (Q573040)

Verf. beweist die beiden Sätze: (1) \(K_1(x,y)\) und \(K_2(x, y)\) seien stetig und symmetrisch. \(K_1\) habe stetige erste Ableitungen, und \(\dfrac{\partial ^2K_1}{\partial x\partial y}\) sei stetig. Wenn \[ \textstyle \int\limits_{x}^{y} \displaystyle K_1(x,\xi )\,K_2(\xi,y)\,d\xi \] symmetrisch ist, dann ist \(K_1\) oder \(K_2\) identisch Null. (2) \(K_1(x, y)\) und \(K_2(x, y)\) seien symmetrisch und mögen nur endlich viele linear unabhängige Eigenfunktionen \(\varphi _1\),\dots, \(\varphi _k\) bzw. \(\vartheta _1\),\dots, \(\vartheta _g\) haben. Notwendig und hinreichend dafür, daß \[ \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle K_1(x,\xi )\,K_2(\xi,y)\,d\xi \] symmetrisch sei, ist \[ \textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle \varphi _i(x)\,\varphi _i(\xi )\,\vartheta _j(\xi )\,\vartheta _j(y)\,d\xi =\textstyle \int\limits_{a}^{b} \displaystyle \varphi _i(y)\,\varphi _i(\xi )\,\vartheta _j(\xi )\,\vartheta _j(x)\,d\xi \] für \(i = 1\), 2,\dots, \(k\); \(j = 1\), 2,\dots, \(g\).