Sur l'ordre de \(D(\lambda )\). (Q573043)

Verf. gibt Abschätzungen für die \textit{Fredholm}sche Funktion \(D(\lambda )\) einer linearen Integralgleichung : (1) Wenn der Kern analytisch ist in der \(x\)- (oder \(y\)-) Ebene für jeden Wert von \(y\) aus dem Intervall \(a\leqq y\leqq b\) (oder entsprechend für \(x\)), so gilt: \[ |\,D(\lambda )\,|\leqq e^{\varepsilon (\lambda )\log^2|\,\lambda \,|} \;\text{mit}\;\lim_{|\,\lambda \,|\to\infty }\varepsilon (\lambda )=0; \qquad\lim_{n\to\infty }\overset{\;n\hfill}{ \sqrt{|\,\lambda _n\,|}}=0. \] (2) Wenn der Kern analytisch ist für \[ a-\delta \leqq \mathfrak R(y)\leqq b+\delta,\;\;-\delta \leqq \mathfrak I(y)\leqq \delta \;\;(\delta\;\text{beliebig}) \] für jedes \(x\) mit \(a\leqq x\leqq b\), so gilt: \[ |\,D(\lambda )\,|<e^{\psi (\delta )\log^2|\,\lambda \,|},\;\;\liminf_{n\to\infty }\overset{\;n\hfill}{ \sqrt{|\,\lambda _n\,|}}>1. \] (3) Wenn die Ableitungen \(n\)-ter Ordnung in \(x\), \(m\)-ter in \(y\) des Kerns beschränkt sind für \(a\leqq y\leqq b\) bzw. \(a\leqq x\leqq b\), so ist \[ |\,D(\lambda )\,|\leqq A\,\exp\, \raise 6pt\hbox{\(\biggl(\)}\alpha \,|\,\lambda \,|\raise10pt\hbox{\(\tfrac{2} {2m+2n+1}\)} \raise 6pt\hbox{\(\biggr)\)}. \] Die Abschätzungen folgen aus bekannten Darstellungen von \(D(\lambda )\).