Nouvelles recherches relatives à la généralisation de l'équation de Fredholm. (Q573050)

In einer früheren Arbeit (1928; F. d. M. 54, 342 (JFM 54.0342.*)-343) hat Verf. Integralgleichungen von folgender Form betrachtet: \[ \varphi (x)=f(x)+\lambda \biggl\{\textstyle \int\limits_{a'}^{a''} \displaystyle A(x, s)\,\varphi (s)\,ds+\textstyle \int\limits_{b'}^{b''} \displaystyle B(x, s)\,\varphi (s)\,ds+\textstyle \int\limits_{c'}^{c''} \displaystyle C(x, s)\,\varphi (s)\,ds\biggr\}; \] dabei ist \(a' < a''\leqq b'< b'' \leqq c' < c''\). \(A\), \(B\), \(C\), \(f\) sind gegebene, \(\varphi \) ist die gesuchte Funktion. In der vorliegenden Arbeit wird die Untersuchung auf das System \[ \begin{aligned} &u(x)=h(x)+\lambda \biggl\{\textstyle \int\limits_{a'}^{a''} \displaystyle A(s, x)\,u(s)\,ds+\textstyle \int\limits_{b'}^{b''} \displaystyle A(s, x)\,v(s)\,ds+\textstyle \int\limits_{c'}^{c''} \displaystyle A(s, x)\,w(s)\,ds\biggr\},\\ &v(x)=k(x)+\lambda \biggl\{\textstyle \int\limits_{a'}^{a''} \displaystyle B(s, x)\,u(s)\,ds+\textstyle \int\limits_{b'}^{b''} \displaystyle B(s, x)\,v(s)\,ds+\textstyle \int\limits_{c'}^{c''} \displaystyle B(s, x)\,w(s)\,ds\biggr\},\\ &w(x)=l(x)+\lambda \biggl\{\textstyle \int\limits_{a'}^{a''} \displaystyle C(s, x)\,u(s)\,ds+\textstyle \int\limits_{b'}^{b''} \displaystyle C(s, x)\,v(s)\,ds+\textstyle \int\limits_{c'}^{c''} \displaystyle C(s, x)\,w(s)\,ds\biggr\}\end{aligned} \] bei gegebenem \(h\), \(k\), \(l\) und gesuchtem \(u\), \(v\), \(w\) ausgedehnt. Es überträgt sich die \textit{Fredholm}sche Theorie; insbesondere werden lösende Kerne aufgestellt, die Eigenwerte untersucht und die homogenen Gleichungen \(h=k=l=0\) betrachtet. Definiert man \[ K(x,y)=\begin{cases} A(x,y)\quad\text{für}\;\,a'\leqq y\leqq a'',\\ B(x,y)\quad\text{für}\;\,b'\leqq y\leqq b'',\\ C(x,y)\quad\text{für}\;\,c'\leqq y\leqq c'',\\ \;\;\;\;0\;\quad \quad\text{für}\;\,a''<y<b',\;b''<y<c',\end{cases} \] so kann in den vorangehenden Gleichungen \(A\), \(B\), \(C\) durch \(K\) ersetzt werden, und es können Gleichungen mit symmetrischem Kern \(K(x, y)\) behandelt werden. Weiter gestattet die für \(f=h =k=l = 0\) mögliche Festsetzung \[ \varphi (x)=\begin{cases} u(x)\quad\text{für}\;\,a'\leqq x<a''.\\ v(x)\quad\text{für}\;\,b'\leqq x\leqq b'',\\ w(x)\quad\text{für}\;\,c'\leqq x\leqq c''\end{cases} \] die Einführung normierter Orthogonalsysteme durch \[ \textstyle \int\limits_{a'}^{a''} \displaystyle \varphi _\nu \varphi _\mu \,dx+ \textstyle \int\limits_{b'}^{b''} \displaystyle \varphi _\nu \varphi _\mu \,dx+ \textstyle \int\limits_{c'}^{c''} \displaystyle \varphi _\nu \varphi _\mu \,dx=\begin{cases} 0\;\,\text{für}\;\;\nu \not=\mu,\\ 1\;\,\text{für}\;\;\nu =\mu .\end{cases} \] Dadurch kann die Theorie der Integralgleichungen mit symmetrischem Kern übertragen werden. Die Eigenwerte sind reell. Quellenmäßig dargestellte Funktionen \[ \omega (x)=\textstyle \int\limits_{a'}^{a''} \displaystyle K(x,s)\,\varrho (s)\,ds+ \textstyle \int\limits_{b'}^{b''} \displaystyle K(x, s)\,\varrho (s)\,ds+ \textstyle \int\limits_{c'}^{c''} \displaystyle K(x, s)\,\varrho (s)\,ds \] können nach Eigenfunktionen entwickelt werden. Weiter gilt die Theorie der \textit{E. Schmidt}schen Eigenfunktionenpaare für den unsymmetrischen Kern, sowie das Analogon zum Satz von \textit{Riesz} und \textit{Fischer}.