Bemerkungen über belastete Integralgleichungen. (Q573054)

Manche Probleme der mathematischen Physik, insbesondere auch die Untersuchungen des Verf. über die Gleichgewichtsfiguren rotierender, nicht homogener Flüssigkeiten, führen auf Integralgleichungen, bei denen sich die Integrale nicht nur über das eigentliche, der Betrachtung zugrunde liegende Gebiet, sondern auch über seine Berandung oder sonstige ausgezeichnete Flächen, Linien oder Punkte erstrecken, und die in der \textit{Kneser}schen Bezeichnungsweise (1914; F. d. M. 45, 524 (JFM 45.0524.*)-525) belastete Integralgleichungen heißen. Auf eine solche Gleichung kann auch das Problem zurückgeführt werden, die im Gebiet \(T\) nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Lösung \(u(x, y)\) der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y} + cu = f \] zu bestimmen, die auf dem Rande \(S\) von \(T\) verschwindet und in den durch den Querschnitt \(S_0\) erzeugten Teilgebieten \(T_1\) und \(T_2\) stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung hat. Verf. führt an Hand der speziellen belasteten Integralgleichung \[ \varphi(\tau)+\lambda \int\limits_{T} \overset{1} {K}(\tau, {\tau}') \varphi({\tau}') \, d {\tau}' + \lambda \int\limits_{S} \overset{2} {K}(\tau, {\sigma}') \varphi({\sigma}') \, d {\sigma}' = f(\tau) \tag{1} \] einen Beweis, daß für derartige Gleichungen bei geeigneter Schreibweise die klassischen \textit{Fredholm}schen Auflösungsformeln gelten. Der Grundgedanke des Beweises ist, daß die Lösung \(\varphi_h(\tau)\) der Integralgleichung \[ \varphi_h(\tau)+\lambda \int\limits_{T} K_h(\tau, {\tau}') \varphi_h({\tau}') \, d {\tau}' = f(\tau) \tag{2} \] gegen die Lösung von (1) konvergiert. Dabei bezeichnet \(h > 0\) eine hinreichend kleine Zahl, \(T_h\) das ganz im Innern von \(T\) gelegene Gebiet, dessen Punkte von \(S\) um mindestens \(h\) entfernt sind, und \(K_h(\tau, {\tau}')\) den approximierenden Kern \[ K_h(\tau, {\tau}') = \left\{ \begin{aligned} \overset{1} {K}(\tau,{\tau}') \quad \qquad \qquad \; \,&\text{in} \; \, T_h, \\ \overset{1} {K}(\tau,{\tau}') + \frac{1}{h} \overset{2} {K}(\tau,\sigma) \; \,& \text{in} \; \,T-T_h, \end{aligned} \right. \] wobei unter \({\sigma}'\) der Fußpunkt des von \({\tau}'\) auf \(S\) gefällten Lotes verstanden wird. Das zweite Kapitel enthält die Diskussion der Gleichung, die als die adjungierte zu (1) aufzufassen ist.