Sur le problème biologique héréditaire de deux espèces dévorante et dévorée. (Q573060)

In der von \textit{Volterra} entwickelten Theorie über die Fluktuationen von Tierarten, die im gleichen Milieu leben (vgl. das vorstehend besprochene Buch) wird auch das Problem von zwei Arten behandelt, deren eine die andere verzehrt. Die dafür aufgestellten Gleichungen liefern bei Berücksichtigung der Heredität für die Fluktuationen Lösungen, deren Beschränktheit nicht behauptet werden kann. In der vorliegenden Arbeit werden diese Gleichungen ersetzt durch das System \[ \begin{aligned} \frac{dN_1}{dt} &= N_1 \left[ \varepsilon_1 -\lambda_1N_1 -\gamma_1N_2 \int\limits_{0}^{\infty} F_1(\tau) N_2(t-\tau) \, d \tau \right] \quad \text{(verzehrte Art)}, \\ \frac{dN_2}{dt} &= N_2 \left[ -\varepsilon_2 -\lambda_2N_2 +\gamma_2N_1 + \int\limits_{0}^{\infty} F_2(\tau) N_1(t-\tau) \, d \tau \right] \quad \text{(verzehrende Art)}, \end{aligned} \tag{1} \] das sich von dem \textit{Volterra}schen durch die Hinzufügung der Glieder \(-\lambda_1N_1\) und \(-\lambda_2N_2\) unterscheidet. Von den Lösungen \(N_1(t)\), \(N_1(t)\) dieses Systems wird gezeigt, daß sie nur beschränkter Schwankungen fähig sind, wenn das System einen stationären Zustand zuläßt, und daß \(N_2\) gegen Null, \(N_1\) gegen den Wert \(\dfrac{\varepsilon_1}{\lambda_1}\) konvergiert, wenn ein stationärer Zustand nicht möglich ist. Von Bedeutung ist, daß das ``Gesetz der asymptotischen Mittel'', d. h. das Gesetz, daß die Mittelwerte \(\dfrac{1}{t-t_0}{ \int\limits_{t_0}^{t} N_1(t) \, dt}\) und \(\dfrac{1}{t-t_0}{ \int\limits_{t_0}^{t} N_2(t) \, dt}\) gegen die stationären Werte \(k_1\) und \(k_2\) von \(N_1(t)\) bzw. \(N_2(t)\) konvergieren, wenn \(t\) irgendwie gegen Unendlich geht, in voller Allgemeinheit für das System (1) gilt, während es für das \textit{Volterra}sche System nur bei gewisser einschränkender Interpretation aufrechterhalten werden kann. Im Falle, wo \(\lambda_1\) klein genug und \(\lambda_2\) groß genug ist, gelingt es Verf. auch zu zeigen, daß das System in der Grenze dem stationären Zustand zustrebt.