Über Funktionen von Funktionaloperatoren. (Q573067)

Verf. entwickelt in dieser Arbeit einen sehr umfassenden Funktionsbegriff für die von ihm schon früher (1929; JFM 55.0824.*-826) in andrer Richtung untersuchten Funktionaloperatoren der Menge \(B\), das sind die linear beschränkten Operatoren des \textit{Hilbert}schen Raumes. Von der elementaren Definition der Polynome von Funktionaloperatoren aus \(B\) ausgehend, könnte man durch sukzessive Grenzübergänge die Operatorenfunktionen aller \textit{Baire}schen Klassen definieren. Viel allgemeiner ist die Funktionenklasse, die Verf. durch seine Definition mit Hilfe der zu den Operatoren gehörigen ``Zerlegungen der Einheit'' (Z. d. E.) erhält. Ist nämlich \(E (\lambda)\) die zu dem \textit{Hermite}schen Operator \(A\) aus \(B\) gehörige Z. d. E., so wird durch das auf der rechten Seite der Identität \[ (A'f,g)=\int F(\lambda) \, d(E(\lambda)f,g) \tag{1} \] stehende \textit{Lebesgue-Stieltjes}sche Integral ein ebenfalls zu \(B\) gehöriger Operator \(A'\) definiert, der als \(F (A)\) gedeutet werden kann. \(F(x)\) kann dabei jede komplexwertige ``\(\varPhi\)-meßbare'' Funktion sein, die auf dem Spektrum \(\mathfrak{S}\) von \(A\) beschränkt ist. Dabei heißt eine für alle reellen \(x\) definierte komplexwertige Funktion \(F(x)\) \(\varPhi\)-meßbar, wenn sie so beschaffen ist, daß \(F(\varPhi(a))\) für alle monoton nichtfallenden, nach rechts halbstetigen \(\varPhi(a)\) eine \textit{Lebesgue}-meßbare Funktion ist. Für solche Funktionen \(F(x)\) definiert Verf. das \textit{Lebesgue-Stieltjes}sche Integral \(\int F(x)\, d\varphi(x)\) (\(\varphi(x)\) von beschränkter Schwankung) und leitet im Zusammenhang damit einige Sätze über \textit{Lebesgue}sche und \textit{Lebesgue-Stieltjes}sche Integrale her, die auch an und für sich beachtenswert sind. Eine Reihe von Eigenschaften der reellen Zahlen, für die die Funktionen \(F(x)\) allein definiert sind, überträgt sich durch den in (1) statuierten Funktionsbegriff auf die \textit{Hermite}schen beschränkten Operatoren. Mit Hilfe einiger Konvergenzsätze über Operatoren-Funktionen-Folgen beweist Verf. dann den Hauptsatz, daß nämlich der durch einen beschränkten \textit{Hermite}schen Operator \(A\) erzeugte Ring \(R(A)\) (vgl. die oben angeführten Arbeiten des Verf.) identisch ist mit der Menge aller \(F(A)\), wobei \(F(x)\) alle \(\varPhi\)-meßbaren Funktionen mit \(F(0)=0\) durchläuft. Nach Einführung der Operatorenfunktion \(F(A_1, A_2,\ldots)\), die von den endlich oder abzählbar unendlich vielen \textit{normalen} Operatoren \(A_1, A_2,\ldots\) aus \(B\) abhängt, wird noch der Satz bewiesen, daß es zu jeder \textit{Abel}schen Menge \(M\) aus \(B\) einen \textit{Hermite}schen Operator \(R\) gibt, so daß einerseits jedes \(A\) von \(M\) Funktion von \(R\) und andrerseits \(R\) Funktion endlich oder abzählbar unendlich vieler \(A\) aus \(M\) ist. (IV 3 C.)