Résolution d'une équation fonctionnelle et fonctions itératives généralisées. (Q573075)

Die Funktionalgleichung \[ \varPhi(z) = \lambda F(z) \, \varPhi[\varTheta(z)] + \varPsi(z), \tag{1} \] wo \(\varTheta(z)\), \(F(z)\), \(\varPsi(z)\) gegebene analytische Funktionen von \(z\) sind, \(\lambda\) ein komplexer Parameter und \(\varPhi(z)\) die gesuchte Funktion ist, war bereits Gegenstand einer früheren Arbeit des Verf. (1930; JFM 56.0347.*). In der formal lösenden Reihe \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} T_n(z)\) treten neben \(T_0(z) = \varPsi(z)\) die Funktionen \[ T_n(z) = \lambda F(z)\, T_{n-1}[\varTheta(z)] \] auf, die eine Verallgemeinerung der von \textit{Fatou} und \textit{Julia} studierten Iterationen rationaler Funktionen darstellen. Auf die Eigenschaften der durch diese Iterationen aus der Ausgangsfunktion entstehenden Familie (\(T\)) verspricht Verf. in einer späteren Arbeit zurückzukommen. In der vorliegenden Note werden die Eigenschaften der verschiedenen Lösungen der Funktionalgleichung (1) skizziert, die den verschiedenen Kategorien von Fixpunkten (oder Zyklen) der Transformation \(z_n = z_{n-1}[\varTheta(z)]\) entsprechen. (IV 4.)